橢圓的三種定義

03-17

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預備知識　圓錐曲線的極坐標方程

第二種定義

　　我們前面已經見過橢圓在極坐標中的定義，但從橢圓的極坐標公式難以看出橢圓的對稱性，這裡用相同的定義推導直角坐標的表達式．我們不妨先以一個焦點為原點定義直角坐標系，且令 $x$ 軸指向另一個焦點，則式 2 變為

$frac{sqrt{x^2 + y^2}}{x + h} = e$ 　　(1)

其中 $h$ 為 $y$ 軸到準線的距離．兩邊平方並整理得

$(1 - e^2)left( x - frac{e^2h}{1-e^2} ight)^2 + y^2 = frac{e^2h^2}{1-e^2}$ 　　(2)

由此可見，如果我們把橢圓左移 $e^2 h/ (1 - e^2)$ ，橢圓將具有

$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$ 　　(3)

的形式．其中 $a$ 為半長軸， $b$ 為半短軸．這就是橢圓的第二種定義，即把單位圓沿兩個垂直方向分別均勻拉長 $a$ 和 $b$ ．下面來看係數的關係．首先定義橢圓的焦距為焦點到橢圓中心的距離（即以上左移的距離）為

$c = frac{e^2 h}{1-e^2}$ 　　(4)

式 2 和式 3 對比係數得

$a = frac{eh}{1-e^2} qquad b = frac{eh}{sqrt{1-e^2}}$ 　　(5)

不難證明

$a^2 = b^2 + c^2$ 　　(6)

以及

$e = frac ca qquad h = frac{b^2}c$ 　　(7)

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）