近似理論：微擾

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本章選自 laserdog 編寫的量子力學/量子場論的講義

　　 無論在一般的量子力學框架下，還是其延伸出的各種問題，比如量子多體問題、量子統計問題、量子場論問題等等，可以精確求解的本身就是少之又少． 很多時候，一些必要的近似手段才真正地發揮了大作用．

　　 一個最成功的近似理論就是微擾理論． 假如我們對某一個體系了解的很充分，那麼對這個體系在小的已知擾動（比如，由雜質或者外界場影響等等）的行為可以非常好的用微擾進行處理，得到很多十分有效的結論．

不含時 Time-independent

　　 很多微擾是不含時的微擾——比如說，我的雜質就一直扔在那裡了，不管你時間怎麼變化我的雜質又不會消失． 這時候的微擾論實際上是比較基礎的，我們不用引入很多奇葩觀念就可以輕鬆地解決問題． 在這種時候，有一個很有趣的現象我們後面會看到．

　　 注意到，如果微擾很小的話，微擾之後本徵態的能量、態都很接近微擾之前的能量，比如說， 分別表示原來的本徵態和能量，微擾之後在它附近的能量本徵態為 為一個描述微擾大小的參數． 所以，我們的一般想法就是：假定滿足如下關係：

　　(1)

　　 注意，一目了然，這並沒有進行歸一化． 另外，很直觀的，假定 與原本徵態 正交．

非簡併問題

　　 為什麼上來先強調非簡併問題，這實際上在後面可以看出來． 一個比較直觀的說法是這樣的：如果簡併了，那麼我實際上在這兩個簡併態之間隨意組合都可以得到處於該能量的本徵態，儘管其中只有一些是有一定的物理意義（也就是其他算符本徵態）的． 在這麼多種本徵態組合中，究竟哪個和微擾之後的本徵態最為接近呢？這就是一個技術上的問題． 並不是不能考慮，但是在這裡我們先處理點最簡單的問題，在後面我們再考慮簡併情況．

　　 在進一步說明問題前，我們先考慮一個更更簡單的情況：一個可以嚴格對角化的 問題．

習題1

　　 一個體系的非微擾 Hamiltonian 是：

　　(2)

其中 ． 而微擾部分的 Hamiltonian 則是

　　(3)

　　 顯然，這是一個實對稱矩陣（Hermitian 矩陣），我們可以把它用一個正交矩陣（Unitary 矩陣）進行對角化：

　　(4)

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