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速度 加速度（一維）

03-17

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預備知識　位移， 基本初等函數的導數， 複合函數求導， 牛頓—萊布尼茲公式

　　速度和加速度都是矢量， 但如果我們考慮質點的一維運動（沿直線運動）， 那麼我們可以指定一個正方向並沿運動方向建立坐標軸． 這樣一來， 我們就可以把一維情況下的位移、速度、加速度這些矢量用一個帶正負號的標量來表示， 正號代表指向正方向， 負號代表指向負方向， 標量的絕對值就等於矢量的模長． 所以以下我們用坐標 x 來表示一維位移， 實數 v 和 a 來表示一維速度和加速度．

　　物理學中， 速度和加速度通常指瞬時值． 在一維運動中， 瞬時速度的定義為一段極短時間 Delta t 內質點的位移 Delta x 除以這段時間， 瞬時加速度的定義為一段極短時間 Delta t 內質點的速度變化 Delta v 除以這段時間， 而這些恰好是導數的定義． 用極限符號和導數來表示， 就是

v(t) = lim_{Delta t o 0}frac{x(t+Delta t)-x(t)}{Delta t} = frac{mathrm d x(t)}{mathrm dt} 　　(1)

a(t) = lim_{Delta t o 0}frac{v(t+Delta t)-v(t)}{Delta t} = frac{mathrm d v(t)}{mathrm d t}　　(2)

根據高階導數定義，加速度就是位移矢量的二階導數

a(t) = frac{mathrm d^2 x(t)}{mathrm d ^2 t} 　　(3)

例1　勻加速運動

　　 已知勻加速運動的位移為 x(t) = x_0 + v_0 t + a t^2/2 ， 注意到這是一個冪函數， 求導得到速度為 v(t) = v_0 + a t ， 再次求導（二階導數）得到加速度為 a(t) = a ． 可見這是一個勻加速運動．

例2　簡諧振動

　　 已知簡諧振動的位移函數為 x(t) = Acos(omega t) ， 運用複合函數求導得速度為 v(t) = -Aomegasin(omega t) ， 加速度為 a(t) = -Aomega^2cos(omega t) ．

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）

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