開普勒第二定律的證明

03-17

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預備知識　開普勒第二定律，角動量守恆（單個質點）

圖1：微小時間 dt 掃過的面積

令行星的位矢為 $r$ ，在很小一段時間 $mathrm d t$ 內移動了 $mathrm d r$ ，於是掃過的面積就是以 $r$ 和 $mathrm d r$ 為兩條邊的三角形的面積 $mathrm d S = |f r||mathrm d f r|(sin heta)/2$ ，其中 $heta$ 為兩條矢量的夾角．若把面積看成矢量，方向垂直於三角形所在的平面，則根據叉乘的定義有 $mathrm d f S = f r imes mathrm d f r/2$ ．兩邊除以 $mathrm d t$ ，得掃過面積的速率為

$frac{mathrm d f S}{mathrm d t} = frac12 mathbf{r} imes frac{mathrm d mathbf r}{mathrm d t} = frac12 mathbf r imes mathbf v$ 　　(1)

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