開普勒第一定律的證明

03-17

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預備知識　圓錐曲線的極坐標方程，極坐標加速度，牛頓第二定律，二階常係數非齊次微分方程的通解

數學模型

　　由於太陽質量遠大於其他行星，近似認為太陽不動．由於太陽和行星相對於行星軌道來說大小可以忽略，把它們當做質點（另見球體的平方反比力）．以太陽為原點建立平面極坐標系，行星在該平面上運動，且僅受萬有引力一個外力．現證明行星的運動軌跡是橢圓，且焦點在原點．

　　行星軌道是以中心天體為焦點的任意圓錐曲線（註：所以行星軌道不一定是橢圓，也可以是拋物線或者雙曲線，但是拋物線或雙曲線軌道是從無窮遠來到無窮遠去的軌道，不會繞中心天體旋轉．所以開普勒定律作為行星運動的經驗公式，只描述了橢圓）．極坐標中，圓錐曲線的方程為

$r = frac{p}{1 - ecos heta}$ 　　(1)

令太陽中心天體在坐標原點，則行星沿該軌道運行．

　　極坐標中徑向和角向加速度公式分別為

$a_r = frac{mathrm d^2 r}{mathrm d t^2} - rleft(frac{mathrm d heta}{mathrm d t} ight)^2$ 　　(2)

$a_{ heta} = frac 1r frac{mathrm d}{mathrm d t} left(r^2frac{mathrm d heta}{mathrm d t} ight)$ 　　(3)

根據牛頓第二定律和萬有引力定律，由於行星只受到沿徑向的萬有引力，則有

$ma_r = - G frac{Mm}{r^2}$ 　　(4)

$ma_ heta = 0$ 　　(5)

在式 4 和式 5 中同除 $m$ ，代入式 2 和式 3 得

$frac{mathrm d^2 r}{mathrm d t^2} - rleft( frac{mathrm d heta}{mathrm d t} ight)^2 = - frac{GM}{r^2}$ 　　(6)

$frac{mathrm d}{mathrm d t} left( r^2 frac{mathrm d heta}{mathrm d t} ight) = 0$ 　　(7)

現在用式 6 ，式 7 消去 $t$ ．式 7 括弧內部不隨時間變化，令其等於常數 $h$

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）