由對稱性到角動量（一）

試著把關於角動量的內容整理一下，計劃分三個部分，大概是（一）SO(3) & SU(2); (二) O(1,3); （三）Poincaré group

注意：角動量是旋轉變換的生成元。

無窮小變換

考慮某些具有連續對稱性的情況，比如圓，旋轉任意角度圖形保持不變。數學上，將元變換記為 ,考慮無限趨近於元變換的無窮小變換 ：

， 為無窮小量

考慮無窮小變換的複合：

我們稱 為變換 的生成子(generator)

寫出Taylor級數，可以得到：

引出李代數的定義：對李群（用矩陣給出），的李代數用矩陣給出，

不幸的是，李群的乘法非常複雜，由著名的BCH公式(Baker-Campbell-Hausdorff formula)給出：

其中 稱為李括弧(Lie bracket)，對矩陣來說：

的李代數

考慮 ，有

寫下生成子 ，有

可以找到三個基：

為了之後討論方便，我們希望生成元是厄米的(Hermitian)，因為為了保證變換使概率幅不變，量子力學中的變換應該是酉的(Unitary)，同時酉變換對應的生成子是厄米算符。

重新定義

這樣滿足厄米算符定義：

此時對應的李代數：

的李代數

同樣的方法，得到：

滿足條件的矩陣空間有三個基，也就是著名的Pauli矩陣

將Pauli矩陣帶入李括弧計算，得到：

這時我們發現，如果定義 ，的李代數形式上為：

這一點非常值得注意，因為這正是的李代數！現在可以說，和有著相同的李代數。但接下來會看到，它們並不同構。

考慮用矩陣(SU(2))表示的旋轉

對於 和 ，在矩陣(SO(3))表示下，表示同一個旋轉變換。但對應著SU(2) 中的兩個不同元素。

另一方面，

所以，

考慮到是單連通的，所以是對應李代數的覆蓋群（其他有相同李代數的群都被其覆蓋），特別的，是的雙重覆蓋。

表示論

首先定義Casimir算符 ，對每個生成元 都有：

由Schur引理，其與李代數中的所有元素對易，所以與李群中的所有元素對易，故其表示矩陣是常數矩陣。其特徵值可以用來區分不可約表示。

下面考慮

對進行分析，定義：

設 有本徵值 ，本徵矢 ，則

所以 亦是本徵值

下面設本徵值的最大值為 ,又

定義：

同理，

得到遞推關係：

時為0，所以對應本徵值

所以共有個本徵態，對應本徵譜

又

所以 （本徵值）為整數或半整數。

這裡回想一下原子物理和量子力學課上，提到的軌道角動量，對應的量子數只能是整數，因為當時我們用的是SO(3)的表示。而且，這樣的推導讓自旋的引入（後面討論）非常自然。物理世界的確選擇了最完整的表示。

最後，我們計算一下SU(2)的Casimir算符作為結尾：

可以驗證：

和我們預期的一樣，的確是軌道角動量算符。