離散傅里葉變換

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預備知識 幺正矩陣,傅里葉變換(指數函數)

結論

   對兩組有序數列 f_0,f_1,dots,f_{N-1}g_0,g_2,dots, g_{N-1} ,正變換和逆變換分別為(註:工程上的定義常常是正變換沒有 1/sqrt{N} 因子,逆變換的 1/sqrt{N} 因子變為 1/N . 這樣的好處是節省運算量.本書中使用的定義好處是變換為幺正變換,有保持歸一化的特點).

g_p = frac{1}{sqrt{N}}sum_{q=0}^{N-1} left(-frac{2pimathrm i}{N} p q
ight) f_q   (1)

f_q = frac{1}{sqrt{N}}sum_{p=0}^{N-1} left(frac{2pimathrm i}{N} p q
ight) g_p   (2)

  離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)(DFT)是一個複數域的正交變換.快速傅里葉變換(FFT)的結果與離散傅里葉變換一樣,只是優化了演算法使程序運行更高效.

矩陣表示

   把變換和逆變換用幺正矩陣 mathbf Fmathbf F^{-1} 來表示,令列矢量 mathbf f = (f_0,f_1,dots,f_N)^Tmathbf g = (g_1,g_2,dots,g_N)^T , 變換和逆變換分別為

mathbf g = mathbf F mathbf f qquad mathbf f = mathbf F^{-1} mathbf g   (3)

其中

(剩下部分見頂部的「閱讀原文」)


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