自旋角動量

03-16

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1. 自旋角動量三個分量算符 $S_x, S_y, S_z$ 的互相對易關係以及自旋模長平方算符 $S^2$ 的對易關係

2. 與軌道角動量同理，存在一組本徵態 $|s, m angle$ （ $s = 0, 1/2, 1, 3/2dots$ ， $m = -s, -s+1dots ,s-1, s$ 但是每種粒子都有固有的 $s$ ）滿足

3. 存在升降算符 $S_pm = S_x pm mathrm i S_y$ ，且（根號項是歸一化係數）

$S_pm |s, m angle = hbar sqrt{s(s+1) - m(mpm 1)} |s, m+1 angle$ 　　(2)

對於 $s = 1/2$ 的粒子，一共有 2 個本徵態，分別是 $|1/2, 1/2 angle， |1/2, -1/2 angle$ ．它們的角動量模長平方都是 $3hbar^2/4$ ，角動量 $z$ 分量都是 $hbar/2$ ．以這兩個本徵態為基底，令第一個為 $chi_+ =(1, 0)^T$ ，第二個為 $chi_- = (0, 1)^T$ ．可以得出角動量平方算符的矩陣為 $mathbf S^2 = frac{3hbar^2}{4} egin{pmatrix}1&0\0&1 end{pmatrix} qquad mathbf S_z = frac{hbar}{2} egin{pmatrix} 1&0\0&-1 end{pmatrix}$ 　　(3)