算符的矩陣表示

03-16

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　　考慮一個比較基本的問題，算符的「功能」是什麼呢？算符就是對函數的一種操作方法．給出一個波函數，經過算符作用，可以得到一個新的波函數．以下給出量子力學中算符的兩個重要性質

1. 算符都是線性的，即對任意 n 個波函數 $psi_1, psi_2 dots psi_n$ ，算符 $hat Q$ 滿足

$hat Q (c_1 psi_1 + c_2 psi_2 dots c_n psi_n) = c_1hat Q psi_1 + c_2 hat Q psi_2 dots c_n hat Q psi_n$ 　　(1)

2. 算符的本徵方程的本徵值都是實數．因為根據測量理論，本徵值就是可能出現的測量結果，所以本徵值一定是實數．

　　我們已經知道，波函數可以用列向量表示．既然算符都是線性的，而矩陣可以表示列向量的線性變換，是否可以用矩陣代替算符，從而作用於列向量呢？根據性質 1，若是算符 $hat Q$ 的本徵函數， $lambda_1dots lambda_n$ 是對應的本徵值（實數），則

$left{egin{aligned} hat Q psi & = hat Q(c_1 psi_1 + dots + c_n psi_n)\ & = c_1 hat Q psi_1 + dots + c_n hat Q psi_n\ & = lambda_1 c_1 psi_1 + dots + lambda_n c_n psi_n end{aligned} ight.$ 　　(2)

若把上面的波函數表示成列矢量，就相當於在算符 $hat Q$ 的作用下任意一個列矢量 $|{psi} angle = (c_1, dots, c_n)^T$ 總是會變成 $(lambda_1 c_1, dots, lambda_n c_n)^T$ ．這個變換可以用矩陣

$mathbf Q = egin{pmatrix} lambda_1 & & \ & ddots & \ & & lambda_n end{pmatrix}$ 　　(3)

所以矩陣 $mathbf Q$ 就是算符 $hat Q$ 的矩陣形式，把算符作用在波函數上得到新的波函數，等效於把算符對應的矩陣作用在波函數對應的列矢量上，得到新的波函數對應的列矢量．用矩陣和列向量表示的本徵方程如下

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