振動的指數形式

03-16

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預備知識　簡諧振子，二階常係數齊次微分方程

　　簡諧振子的微分方程

$m ddot x = - kx$ 　　(1)

是一個二階常係數齊次微分方程．其複數域的通解可以表示為

$x(t) = C_1 mathrm e^{mathrm i omega t} + C_2 mathrm e^{-mathrm i omega t}$ 　　(2)

其中 $C_1, C_2$ 是任意復常數．由於指數函數的運算往往比三角函數方便，物理或工程中常常用指數函數表示振動，即把式 1 的通解記為（註：式 3 中 $mathrm e^{-mathrm iomega t}$ 里的負號是一種習慣，有些教材中也會使用正號．無論使用哪一種，必須在計算中保持一致．）

$ilde x(t) = ilde A mathrm e^{-mathrm i omega t}$ 　　(3)

其中 $ilde A$ 是一個複數（註：在變數上方加波浪線通常為了強調該變數是一個複數，但為了書寫方便有時候也會省略，需要從語境中判斷），稱為復振幅， $ilde A$ 的模長 $A = | ilde A|$ 就是振幅， $ilde A$ 幅角的相反數 $varphi_0=?arg( ilde A)$ 就是初相位

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