證明閉合曲面的法向量面積分為零

03-14

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　　對於閉合曲面 $Omega$ ，證明 $oint_Omega mathrm d{mathbf s} = mathbf 0$ ，其中 $mathrm d mathbf s$ 是曲面上的面元矢量，其大小為面元的面積 $mathrm d s$ ，方向為沿著該面元的法線向外．把矢量積分分解成三個分量，有

$egin{aligned} oint_Omega mathrm d{mathbf s} & = oint_Omega [(hat{mathbf x} mathrm d{mathbf s})hat{mathbf x} + (hat{mathbf y} mathrm d{mathbf s})hat{mathbf y} + (hat{mathbf z} mathrm d{mathbf s})hat{mathbf z}] \ &= hat{mathbf x}oint_Omega hat{mathbf x} mathrm d{mathbf s} + hat{mathbf y}oint_Omega hat{mathbf y} mathrm d{mathbf s} + hat{mathbf z}ointlimits_Omega hat{mathbf z} mathrm d{mathbf s} end{aligned}$ 　　(1)

下面以第一項為例，證明積分結果為，後兩項的證明類似．根據散度定理，矢量場在閉合曲面上的通量等於該矢量場散度在曲面內空間的體積分，所以

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