球諧函數

03-14

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預備知識　連帶勒讓德方程

　　在球坐標的拉普拉斯方程分離變數後，連帶勒讓德方程的解為 $g( heta) = P_l^m(cos heta)$ ，方向角函數的解 $h(phi) = mathrm e^{mathrm i mphi}$ ．為了方便起見，定義 $Y_l^m = A cdot P_l^m(cos heta) mathrm e^{mathrm i m heta}$ ， $A$ 是歸一化係數，使得 $|Y_m^l (x)|^2$ 在單位球面上的面積分等於 1．由該條件確定歸一化係數 $A$ （過程如下），得到

$Y_m^l ( heta ,phi) = sqrt{frac{2l + 1}{4pi }frac{(m - 1)!}{(m + 1)!}} P_l^m (cos heta) mathrm e^{mathrm i m heta}$ 　　(1)

在球坐標中，半徑為 $R$ 的球的面元為 $R mathrm d{ heta} Rsin heta mathrm d{phi} = R^2 sin heta mathrm d{ heta} mathrm d{phi}$ ，積分為

$1 = A^2int_0^{2pi } int_0^pi P_l^m mathrm d{(cos heta)^2} mathrm e^{mathrm i m heta} mathrm e^{-mathrm i m heta}sin heta mathrm d{ heta} mathrm d{phi}$ 　　(2)

兩個指數項相乘為 1，且對 $heta$ 進行換元 $u = cos heta$ ，得

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