柱坐標系中的拉普拉斯方程

03-14

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預備知識　分離變數法簡介，柱坐標的拉普拉斯算符

結論

　　柱坐標中的徑向方程為貝賽爾方程

$x frac{mathrm d}{mathrm dx} left(x frac{mathrm d y}{mathrm d x} ight) + (x^2 - m^2)y = 0$ 　　(1)

其中 $x=lr$

分離變數法

　　柱坐標系中的拉普拉斯方程為

$frac{1}{r} frac{partial}{partial r} left(rfrac{partial u}{partial r} ight) + frac{1}{r^2} frac{partial^2 u}{partial heta^2} + frac{partial^2 u}{partial z^2} = 0$ 　　(2)

令 $u = R(r) Phi( heta) Z(z)$ ，代入方程得

$frac{1}{rR}frac{partial}{partial r} left(rfrac{partial R}{partial r} ight) + frac{1}{r^2 Phi} frac{partial Phi}{partial heta} + frac{1}{Z} frac{partial^2 Z}{partial z^2} = 0$ 　　(3)

前兩項只是 $r$ 和 $heta$ 的函數，第三項只是 $z$ 的函數，所以它們分別為常數．令

$frac{1}{Z} frac{partial^2 Z}{partial z^2} = l^2$ 　　(4)

則前兩項為

$frac{1}{rR} frac{partial}{partial r} left(rfrac{partial R}{partial r} ight) + frac{1}{r^2 Phi} frac{partial^2 Phi}{partial heta^2} = - l^2$ 　　(5)

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