柱坐標系中的拉普拉斯方程

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預備知識 分離變數法簡介,柱坐標的拉普拉斯算符

結論

   柱坐標中的徑向方程為貝賽爾方程

x frac{mathrm d}{mathrm dx} left(x frac{mathrm d y}{mathrm d x}
ight) + (x^2 - m^2)y = 0   (1)

其中 x=lr

分離變數法

   柱坐標系中的拉普拉斯方程為

frac{1}{r} frac{partial}{partial r} left(rfrac{partial u}{partial r}
ight) + frac{1}{r^2} frac{partial^2 u}{partial 	heta^2} + frac{partial^2 u}{partial z^2} = 0   (2)

u = R(r) Phi(	heta) Z(z) , 代入方程得

frac{1}{rR}frac{partial}{partial r} left(rfrac{partial R}{partial r}
ight) + frac{1}{r^2 Phi} frac{partial Phi}{partial 	heta} + frac{1}{Z} frac{partial^2 Z}{partial z^2} = 0   (3)

前兩項只是 r	heta 的函數, 第三項只是 z 的函數, 所以它們分別為常數. 令

frac{1}{Z} frac{partial^2 Z}{partial z^2} = l^2   (4)

則前兩項為

frac{1}{rR} frac{partial}{partial r} left(rfrac{partial R}{partial r}
ight) + frac{1}{r^2 Phi} frac{partial^2 Phi}{partial 	heta^2} = - l^2   (5)

(剩下部分見頂部的「閱讀原文」)

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