高斯波包

03-14

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預備知識　高斯分布，含時薛定諤方程，動量表象

結論

　　設 t=0 時的波函數（已歸一化）

$psi (x,0) = frac{1}{(2pisigma_x ^2)^{1/4}} mathrm e^{-(x - x_0)^2/(2sigma_x)^2} mathrm e^{mathrm i frac{p_0}{hbar}x}$ 　　(1)

那麼動量表象波函數具有對稱的形式（註：也可以把式 1 和式 2 同時除以常數 $mathrm e^{mathrm i p_0 x_0}$ 使式 1 最後的 x 變為 $x-x_0$ ，式 2 最後的 $p-p_0$ 變為 p． }

$psi (p,0) = frac{1}{(2pisigma_p^2)^{1/4}} mathrm e^{-(p - p_0)^2/(2sigma_p)^2} mathrm e^{-mathrm ifrac{x_0}{hbar }(p - p_0)}$ 　　(2)

其中 $sigma_x$ 為位置的標準差， $sigma_k$ 為 k 的標準差，滿足不確定原理

$sigma_xsigma_p = frac{hbar}{2}$ 　　(3)

含時波函數為

$egin{aligned} psi (x,t) = &frac{1}{(2pisigma^2)^{1/4}} frac{1}{sqrt{1 + mathrm ihbar t/2m sigma^2}} imes\ &expleft[frac{-(x - p_0 t/m)^2}{(2sigma )^2 (1 + mathrm i hbar t/2m sigma^2)} ight] expleft[frac{mathrm i p_0}{hbar } left(x - frac{p_0 t}{2m} ight) ight] end{aligned}$ 　　(4)

若令 ?=1，且定義無量綱參數 x′=x/σ， k′=σk， t′=t/(mσ)．則上式可記為（省略撇號）

$psi (x,t) = frac{1}{(2pisigma^2)^{1/4}} frac{1}{sqrt{1 + mathrm i t}} expleft[frac{-(x - k_0 t)^2}{2(1 + mathrm i t)} ight] expleft[mathrm i k_0(x - k_0 t) ight]$ 　　(5)

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）