群的等價定義

我們來討論一些專題性質的東西，也可以把它們當做習題。

這一節的內容是群的定義，題目來源於馮克勤的近世代數三百題。

這個是群的單邊定義，也就是說我們只定義一側的幺元和逆就可以確定出一個群，似乎聶靈沼代數學引論等書中就把它作為群論的定義。這也許是數學家們的通病吧，爭取用最少的條件得到更多的結果。然而就顯得不甚自然。

但這一題的證明卻很經典，在環論里還要接著用到。如果你對環比較熟悉，你就能想到，環對乘法是個半群。

來看看它的證明：

證明左逆即為右逆是自然的，左邊湊出個e也容易想到，因為要在左邊加上些東西，讓它變為單位元。於是我們要在a的左邊配上a的左逆，於是又要配出a的左逆的左逆。

之後再證明左幺元即是右幺元就可以了。

這是群的除法定義，又叫消去律定義。要注意ab的任意性，我們要利用這個來構造幺元和逆元。

比較下左幺元與左逆的定義，在第一個方程里取b=a，得到的解是左幺元，然後取b=e，得到左逆元，多簡單的事，答案完全多此一舉。

但真的是這樣嗎？有沒有發現什麼問題？第二個方程居然沒有用到！

第一步得到左幺元就錯了，b=a取得的解是一個關於a的函數，它不是一個定值。如果說a的逆，是a的函數沒毛病，但是幺元不可以！

我們要驗證這個函數是一個常值函數。這就要用第二個方程了。取y，把b分解成ay，ea=a是成立的！

這是對有限群的新定義，它對無限群是不成立的。比如正偶數半群{2，4，6，8...}，它顯然滿足前面的條件，但是它不是群。

那我們該怎麼利用它的有限性呢？

利用它對映射封閉，導出集合等式。其實這一題主要是利用集合等式導出上一題的兩個方程，然後證明之。

最後是我自己補充一個結論：含幺半群的所有可逆元構成一個群。

證明其實很容易，可以利用這一題。

顯然這一題成立，我補充的結論就是對的。一個含幺半群必含有一個群，這個結論不難在環論里找到類似的對應。