簡諧振子升降算符歸一化

03-14

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預備知識　簡諧振子（量子）

　首先要提醒的是，一般算符滿足的一個條件是 $langle g|hat Q f angle = langle hat Q^dagger g| f angle$ ．但是對於厄米算符， $hat Q^dagger = hat Q$ ，所以有 $langle g|hat Q f angle = langle hat Q g| f angle$ ．

　　對於諧振子的升降算符 $a_pm = (momega x mp mathrm i p)/sqrt{2momegahbar}$ ，有

$egin{aligned} a_- a_+ &= frac{1}{2momegahbar} (m^2 omega ^2 x^2 + p^2 - mathrm i momega [x,p])\ &= frac{1}{omegahbar} left[frac{1}{2m} (m^2omega ^2 x^2 + p^2) + frac{omegahbar}{2} ight]\ &= frac{1}{omega hbar } H + frac12 end{aligned}$ 　　(1)

$egin{aligned} |a_+psi_n|^2 &= langle a_+psi_n| a_+psi_n angle = langle psi_n | a_- a_+psi_n angle = langle psi_n | left(frac{1}{omegahbar} H + frac12 ight)psi_n angle \ &= left( n+ frac12 ight) + frac12 = n+1 end{aligned}$ 　　(2)

所以有 $a_+ psi_n = sqrt{n + 1} psi_{n+1}$ （同理 $a_- psi_n = sqrt n ,psi_{n - 1}$ ）．再次提醒，歸一化係數後面可以加上任意相位因子 $mathrm e^{mathrm i heta}$ ，同樣能滿足歸一化條件，但一般省略．

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）