小科普er：弱測量(Weak Measurement)和弱值(Weak Value)，其實一點兒也不「弱」啦！

03-14

引子

------Yiming Pan (楓林白印)（原創，轉載請註明出處）

其實，我感覺到一點莫名其妙被召喚的使命才來開這個專欄的，因為目前在以色列特拉維夫(TLV)大學讀博後，剛好跟弱測量和弱值這一量子理論的原創者Yakir Aharonov以及幾個領域內的有名的專家和他的徒弟們也算接觸過，比如Lev Vaidman和Mechael Berry等。知乎上關於弱測量的分析文章太少（zihuaiz：目前量子弱測量在理論方面有什麼進展？），很多人對量子測量(quantum measurement)的認識和看法也還停留在上個世紀初第一代量子論先驅者們爭論的角度上，這讓懶散如我也有點兒難過。

其實，英文的關於weak measurement(WM)的科普和reviews是非常之多，這些也是我一開始學習WM的入手資料，當然由於待在TLV我可以比較近地接觸到這些初創人員們，因此可以繞過很多閱讀陷阱(read trap)而直接接觸到這一領域的核心問題。說了這些個開場白，其實公心來說，是為了給接下來的行文立一個標準，不能因為是中文寫作所以就隨意發揮而致誤人子弟，而私心來說，是為了逼迫自己慢下來用文字思考—「關於弱測量，我又能做什麼呢？」

在這個專欄中我不討論量子力學的哥本哈根詮釋，多重宇宙詮釋，也不涉及Pilot wave theory，退相干和量子糾纏等問題。這些概念太大了，一個專欄包含不了，而我自己也不熟悉寫不了。由於自己常年閱讀和寫作都是中英文混雜的，因此這個專欄的文法可能是個「混血兒」，請務必不要把我寫的一時口快的『大話』當作什麼金科玉律。

如果你非要讀到這兒，就想要一點兒乾貨的話，那就是Feynmann曾說沒有人懂量子力學，但是當你了解一點弱測量理論後，就會發現：

「Feynman是對的!」（Sorry，並沒有反轉）

那為什麼還要學弱測量和弱值呢？因為通過這個理論，你能湊近那麼一點兒看到量子力學中那些令人費解的部分和細節（而不再只是Heisenberg不確定原理、波函數坍縮、EPR糾纏等老生常談的問題(common issues)），甚至有機會可以設計具體的實驗去驗證它的真偽呢。

什麼是弱測量(WM)?

這是我們首先會問的一個問題。測量是物理學區別於其他如數學等純粹學科非常關鍵的一條標準，我們物理學中的理論和規律，除了自身要自洽之外，最後都是要通過搭實驗平台來測量驗證的。測量本來在經典力學的框架下，其實是好好的，只要按照一些基本要求來，比如滿足真實性不能作假，多次實驗滿足統計規律，可重複性，實驗結果不依賴時間地點等。測量在牛頓力學甚至是相對論力學的範式下，其實都沒什麼好談的！

對，經典測量本身真的沒什麼好談的！但是問題就出在量子力學中！

量子測量突然變得詭異起來了，有點兒想談卻談不清楚的感覺。在量子力學中，對波函數的測量行為會導致系統瞬時不可逆地崩塌，即波函數坍縮（wavefunction collapse）。如果測量行為對應於某一個運算元（operator），那麼系統會坍縮到這個運算元的某一本徵態上面去，而系統如果處在疊加態(superpositon)上，其原本疊加信息就全部丟失了。

需要注意的是，如果再實施一次相同的量子測量，系統會不會發生二次坍縮呢？其實並不會。因為在第一次測量中系統已然坍縮到這個運算元的本徵態上了，之後的相同測量是可以準確測出本徵態來，而不使得波函數坍縮的。因此，我們可以發現克服量子測量問題的核心在於『如何測量波函數不使其坍縮』，或者說，如何用一個運算元測一個疊加態而不致其坍縮成本徵態？

弱測量，顧名思義就是，用很弱的耦合作用來從量子系統中汲取一點點兒的信息，而同時不至於讓波函數坍縮。到底這個測量行為需要多弱，我們隨後會給出一個形式理論和判據(TSVF)。而我們汲取的那一點兒信息，可不簡單，有著一些不為人知的性質，而這個專欄就是為了討論這些性質的。這個信息就叫弱值(WV)。弱測量整個理論框架的目的就是就是把量子力學中深埋在波函數中的詭異特徵用弱值記錄下來，弱值就像個地圖和嚮導一樣帶著我們探索量子力學中的『無人區』。

先來看看，人們通常所謂的量子測量具體是怎麼操作的，這得從馮諾依曼(Von Neumann)對量子力學的貢獻來說。先推薦一下這本書《mathematical foundations of quantum mechansics》和Wiki詞條:https://en.wikipedia.org/wiki/Measurement_in_quantum_mechanics. 馮諾依曼關於量子系統提出了兩種測量方案，這兒我們只關心第二個比較靠譜的可操作的測量方案，即演化糾纏過程:

$|psi angle otimes |varphi angle ( ext{product state}) Rightarrow sum_n c_n |chi_n angle|varphi_n angle ( ext{entangled state})$

把一個儀錶(pointer) $|varphi angle$ 和被測系統 $|psi angle$ 放一起耦合起來(一開始是直積態，LHS)，並讓他們通過相互作用演化一段時間形成一個終態(RHS),這個終態將會是一個糾纏態。對pointer讀取其數值即 $|varphi_n angle$ ,那麼相應地系統的狀態也會坍縮到 $|chi_n angle$ 上面去。而測量完成後，系統其他的疊加態(不等於n)就突然消失了，這種測量導致量子系統的狀態陡然被固定在某一特定的本徵態上的瞬時行為，被稱之為wavefunction collapse。

這一行為導致了後來一系列關於量子測量和量子糾纏的大討論(debate)，像EPR, Bell不等式, Hidden parameters theory, 量子eraser double-slit experiment等等，這些都源於波函數坍縮這一量子測量問題。這也被稱為強測量(Strong measurement, or sharp measurement(SM))，當然這是相比較於弱測量(WM)來說的。

但是，你如果仔細來看馮諾依曼關於量子測量的討論，你就會發現他所謂的方案(the schemes of measurement)很有問題，似是而非，並沒有解決問題，只是數學上表述了一下問題。首先是一個系統的狀態 $|psi angle= sum_n c_n |chi_n angle$ ,每一次測量就會使得 $|psi angle$ 坍縮到某一個 $|chi_n angle$ 上面去，其坍縮的概率是 $|c_n|^2$ ，這就是哥本哈根解釋。但是你可能好奇為什麼會坍縮呢？哥本哈根學派說：這個可以。。。沒有解釋。因為沒有被觀測到之前，沒有解釋的意義！(是不是聽上去有點兒王陽明心學的感覺啊)

「…A measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable that is being measured, the eigenvalue this eigenstate belongs to being equal to the result of the measurement. 」 — P. A. M. Dirac (1958) in The Principles of Quantum Mechanics, p. 36

這個jump的過程被叫做wavefunction collapse，按照Dirac的說法也是測量導致的。但是這個jump是怎麼發生的？一瞬間發生的嗎？還是存在中間過程呢？在「 $|psi angle ightarrow |chi_n angle$ 」的測量過程中， $|psi angle$ 中包含比重為 $c_n$ 的 $|chi_n angle$ ，但是坍縮之後就完全變成比重為1的 $|chi_n angle$ ，請問哪些比重為( $1-c_n$ )的 $|chi_n angle$ 是怎麼從系統中憑空產生的呢？而其他的 $sum_{n e n} c_{n} |chi_{n} angle$ 的態又坍縮到哪兒去了呢？關於這些量子測量中坍縮的細節，我們目前並不知曉。

在量子力學中有兩個基本要素，一個是系統狀態(state)，即波函數 $|psi angle$ ；另一個是對系統的操作過程，即運算元 $hat{O}$ (operator, or observable)。（其實如果可以細緻些，還可以有第三個基本元素即phase，不是系統狀態也不是操作，而只跟系統所處的（具體或者抽象）空間有關，先暫不表。）運算元的期望值可定義為：

$langle hat{O} angle =frac{langle psi| hat{O}|psi angle }{langle psi|psi angle }$ (1)

一般來說波函數是歸一化的，即 $langle psi|psi angle=1$ ,這兒先保留其形式定義。量子力學關心的問題就是波函數 $|psi angle$ 以及運算元的動力學演化過程。那麼其他物理量都是基於波函數和運算元來定義的。那麼，測量在這兩個要素中是如何被明確定義的呢？簡單來說，實驗上獲得運算元的期望值 $langle hat{O} angle$ 的過程就被稱之為測量。

即如此，我們不妨來仔細分析一下期望值 $langle hat{O} angle$ 的獲得過程 - 我們來看分母部分：

有一天，你發現了一個量子系統（比如公園中有一個面無表情的小天使），你在遠處觀察它一直都是面無表情的，於是好你確定了這是「一個面無表情的小天使」，即定義為 $langle psi|psi angle$ 。再來看分子部分：第二天，還是那個小天使在公園裡 $|psi angle$ ，你需要一次操作( $hat{O}$ )來確定它有沒有其他表情，於是向它丟了一塊石頭並砸中了小天使，被砸的小天使似乎露出了「不一樣的表情」，即 $hat{O}|psi angle$ 。你把「被砸的小天使」跟原本「面無表情的小天使」一比較，就確定了這個是被砸後不一樣的表情的小天使 $langle psi| hat{O}|psi angle$ 。最後你把昨天的觀測的結果和今天的一對比，即 $langle hat{O} angle =frac{langle psi| hat{O}|psi angle }{langle psi|psi angle }$ 小天使被砸後會從「面無表情」變成「傷心大哭」：於是你知道了對於扔石頭這一個動作( $hat{O}$ )來說，它在小天使系統中的期望值 $langle hat{O} angle$ 是「惹哭它！」

扔石頭這一動作可以永遠不變，但是系統的狀態改變了，比如小天使|psi>變成了小惡魔|phi>，那麼這個動作的期望值 $langle hat{O} angle =frac{langle phi| hat{O}|phi angle }{langle phi|phi angle }$ 可能就是「被小惡魔爆K一頓！」（注意：這個例子並不完美，因為扔石頭並測量其反應的過程，從物理上看本質是一個線性響應理論刻畫的過程，請不必深究。）

從馮諾依曼(Von Neumann)的這本書有兩個很有名的延伸工作，一個是Bell不等式，另一個就是Aharonov的weak value理論。Bell不等式在量子糾纏問題中的核心地位和作用，不是這個專欄關心的問題，但若時機合適我會從弱值的角度看分析一下這個不等式。現在我們來讀讀Aharonov, Albert和Vaidman在1988年發表的關於弱值的第一篇里程碑的工作吧。

如何測量一個波函數也不讓它坍縮呢？

好吧，有人證明了這是不可能的，請參考Paul Busch的工作: 「No information without disturbance」: quantum limitations of measurement.

這個文章並不好讀，因為太「數學」了。但是它堵死了我們想像最美好的一條路，因此必須另謀出路。這一出路，是」置之死地而後生」的思路。那就來個後選擇過程好了，把被弱測量擾動後的系統狀態重新通過強測量固定到我們想要的states中去！也就是說我通過強選擇一個系統狀態，中間弱測量對系統產生一種『unsharped』的擾動（注意這是個精細活兒），最後再用強測量把系統的state投影到我後選擇的狀態上去。於是我獲得了一次弱測量。當然這是有代價的，這個代價就是我需要大量重複的的「無用的測量」來過濾有用的信息，即弱值。這個代價(trade-off)就是弱值的原罪，是弱值擺脫不了的陰影：他們的關係，就像Batman和Joker一樣存在於哥譚市一樣的量子力學之中。我會在Berry關於superweak value的工作介紹中詳細討論之。這兒我的一點兒感想是弱值常常會給人匪夷所思的結果，但是trade-off卻讓我安心並繼續前進。

在弱測量中，弱值的定義是：

$hat{O}_w=frac{langle phi| hat{O}|psi angle }{langle phi|psi angle }$ (2)

這個定義可以看作是期望值的定義(eq.1)拓展，特別是當 $|phi angle=|psi angle$ 時，弱值即等價於期望值。但是這個拓展的弱值定義，卻有著『看不透的深刻物理』蘊含其中，而這個深刻的物理並是最早被Y. Aharonov注意到。因此，如果你是一個對量子力學多少了解的人，不妨多看幾眼這個表達式（eq.2）想想它可能存在什麼不為人知的「秘密」。

弱值的定義是Aharonov等人在1988年給出來的，但是談它的緣起的話，我們需要追溯到Aharonov在1960s的一個關於量子測量中的"time symmetry"的工作，現在這個工作已被歸結為ABL rule [ref: Time Symmetry in the Quantum Process of Measurement, 64]。後來進一步，Yakir Aharonov和Lev Vaidman為了弱值建立了一個整套的理論，叫做 Two-State Vector Formalism (TSVF)[ref: Y. Aharonov & L. Vaidman, The Two-State Vector Formalism:An Updated Review, 08]。

今兒是概述相關概念，因此不打算深入討論TSVF。我們會是回到這個弱值的定義式上面(eq.2)，按照TSVF的理解方式，這個表達式包含了三個相繼過程：一是製備一個量子態 $|psi angle$ (pre-selection)，然後弱測量運算元 $hat{O}$ (weak measurement)，最後把被測量擾動的系統狀態再選擇性地投影到另一個量子態 $|phi angle$ 上去(post-selection)。這便是整個弱測量並獲得弱值的過程了。

其實弱測量並不需要後選擇(post selection)，但弱值需要。按照Von Neumann提出的測量過程，我們用一個儀器跟系統進行耦合，其耦合相互作用的Hamiltonian可以寫成：

$H_I=lambda g(t) hat{O}otimes hat{p}_d$ (3)

其中g(t)是含時的歸一化參數， $lambda$ 是可控的耦合強度，需要足夠小才行（我們會進一步討論需要多大）。這個耦合過程中，運算元 $hat{O}$ 是我們想要測量的系統操作，而運算元是作用在測量儀錶(pointer)上的坐標( $x_d$ )平移運算元 $hat{p}_d$ ，也就是顯示那個指針在刻度表上的相應位置。

（圖1：一個用來弱測量的儀錶(pointer)示意圖，摘自文章: In praise of weakness, A. Steinberg等）

那麼一次量子弱測量的過程，用數學表達式應該如何描述呢？即，考慮耦合過程對應的演化運算元即可:

$igg(|phi anglelanglephi| igg)igg(e^{-iint H_I dt}igg)igg(|psi angleotimes |varphi(x_d) angleigg)\ =igg(|phi anglelanglephi| igg)igg(e^{-ilambdaint g(t)hat{O}cdothat{p}_d dt}igg)igg(|psi angleotimes |varphi(x_d) angleigg)\ simeqigg(|phi anglelanglephi| igg)igg(1-ilambda hat{O}cdothat{p}_digg)igg(|psi angleotimes |varphi(x_d) angleigg)\ =|phi angle otimes langlephi|psi angle igg(1-ilambda hat{O}_what{x}_digg)|varphi(x_d) angle qquadquad\ simeq|phi angle otimes langlephi|psi angle igg(e^{-ilambda hat{O}_what{p}_d}|varphi(x_d) angle igg)qquadqquadquad\ =igg(langlephi|psi angleigg)igg( |phi angle otimes |varphiig(x_d-lambda hat{O}_wig) angle igg)qquadquad;$ (4)

這個計算和推導過程包含了幾乎關於弱測量和弱值的所有細節，非常值得細細推敲。

第一行:三個括弧中從右向左分別是：系統的初態和儀錶的初態；耦合測量的演化運算元；後選擇的末態投影運算元。第二行到第三行中，我們利用了函數歸一化條件： $int g(t)dt=1$ ，並假設耦合強度 $lambdall1$ 足夠小，使得Tayler展開可近似到線性項。第三行到第四行：利用了弱值的表示式(eq.2)因此多出了一個係數項( $langlephi|psi angle$ )。接著剩下的計算可類比，直到最後一行：我們得到了一個耦合的末態和相應的係數，即

$igg(langlephi|psi angleigg)igg( |phi angle otimes |varphiig(x_d-lambda hat{O}_wig) angle igg)$

這說明了兩個問題：第一，pointer上的指針偏移量等於 $lambda hat{O}_w$ ，即從儀錶上讀出了弱值。這很好，真的很好，我們定義的弱值是可以被儀錶測量出來的。第二，系統此時出於後選擇的末態 $|phi angle$ ，這是我們自己post-selected系統狀態，因此系統波函數『並沒有坍縮』。唯一需要注意的是這個係數 $langlephi|psi angle$ ,它告訴我們的啟示是：弱測量是需要付出代價(price)的，這個代價就是不是每一次後選擇都是成功的；而成功的幾率是 $P=ig|langlephi|psi angleig|^2<1$ 。

至此，讀者大概也看出來在量子弱值理論中，後選擇(post-selection)的重要性所在了吧。在後面的其中一個章節中，我會專門來討論後選擇的反常的時間觀念以及測量的代價。公式(4)值得再三的回味，因為很多量子力學基本問題跟這個計算和推導千絲萬縷的關係。

現在，聊一聊我學習弱測量的中遇到的三個重要的人：Yakir Aharonov，Lev Vaidman和Michael Berry。讀者將來會發現我的這個專欄基本上就是在談論他們三人的工作以及延展。

Aharonov的悖論(paradox)

Yakir Aharonov其人如何，這是很有趣的事情。」Yakir loves paradoxes」，這是M. Berry在一次演講中當著Yakir的面，對他的形容。我覺得Berry形容地特別好，因此也借用這個詞(paradox)來說說Y. Aharonov以及他的物理思想的顯著特點，這非常有助於我們這些後輩們理解他工作的研究方式和角度。

(圖片: Yakir Aharonov，摘自Yakir Aharonov, Quantum Group, Tel-Aviv University)

初次見到Yakir的時候是在16年暑假時Ady Arie的小組討論會上。那次的討論會就是邀請Yakir給我們講座-弱測量，那時候我對弱測量沒有一點兒概念，只知道他關於Aharonov-Bohm effect以及AC效應的工作是非常有名的，也是Nobel級別的。那時，我其實是抱著一個粉絲心態去見見名人科學家的，對弱測量並沒有打算要深入，更沒想過要結識Yakir。只是沒想到，後來「一入侯門深似海」，當我第二次參加Yakir的小組講座時（當時一兩個月已經過去了），我非常激動地把自己一個關於弱測量的工作遞給Yakir，並開始慢慢被他注意到了。

當時我做的一個工作是用弱測量的思路來設計一個真實的實驗來準確測量正則對易關係 $[x,p]=ihbar$ ，這個文章可以在ArXiv上找到。也是因為這個文章，Vaidman主動地email聯繫了我，說我做的東西錯了！因為我掛到arXiv上的時候系統找了Vaidman來預審，也因此當面跟Vaidman討論過幾次，不過這是後來的事兒了。

Yakir看到我寫的文章，還是非常歡喜的（但估計並沒認真看）。正因為與Yakir直接交流和討論，讓我覺得和他有點兒「心心相惜」的錯覺，他思考問題的方式是我喜歡的非常的「理論物理」式的。說實在的，Yakir所講授的關於弱測量的知識，在他第二次開講的時候我已經自己學了很多。而當時其他人卻似乎對弱測量，以及它對於量子力學測量問題的嘗試與推進並沒有太多意識到，這反而使得我卻有種『任重而道遠』的感覺。

這可能源於加上Yakir和我本身都是理論物理，而其他與會者們幾乎都是電子工程出身，而我對於Yakir思考和交流的問題的方式天然有種親切感。雖然Ady組織這個研討會的目的其實是做superoscillation方面的，但是Yakir還是按照他自己的傳統方式在白板上畫圖推導來表達自己」paradoxical」的想法。Three-box paradox, Hardy』s paradox and which-way』s paradox等等這些悖論問題上都有Yakir的思考。

Vaidman的炸彈(bomb)

Lev Vaidman是Yakir的學生，這個人有點兒怪，熱情但卻又很固執。其實，Yakir還有我現在的導師Avi Gover也都是很固執的人。但是Lev的固執卻有點兒傲慢，不好溝通，這些性格是從我跟他的幾次打交道以及其他幾個相關人員的交流中體會出來的。為了讓事情變得有趣一些，我以後會給大家講一個」complicated bullshit」的小故事。後來這個梗兒，我便常用。

我們做研究的人啊，每天心心念念就是發文章什麼的。但是讀別人文章時，一個文章明明很不好，但卻發在很高影響因子的雜誌上時，這時候你就會很想去罵街: bullshit! 但是還存在一些文章吧，根本寫得讓人看不懂，費神費力，常常都無法判斷好歹。這種又丑又硬的文章，Lev便無意間發明了這個鮮活的詞來評價，即 complicated bullshit!

俗話說：常在河邊走，哪有不濕鞋的。我們這些科研人員，職業生涯中或多或少都在製造bullshit的灌水文章。但是，希望大家（也包含我自己）盡量不要做那種"complicated bullshit"的文章就好哈。

Elitzur-Vaidmans bomb testing是一個非常神奇的思想實驗，也集中體現在interaction-free measurement之中。我會在一個章節中來專門討論這個實驗是怎麼回事兒。其實，我可以想像如果你是初次接觸這個實驗的話，你一定會被最後的結論驚呆的，我便曾是如此！

（圖: Elitzur-Vaidman bomb testing,摘自The Elitzur–Vaidman Bomb-Testing Method）

Vaidman炸彈也包含著Avshalom Elitzur的貢獻，而Avshalom這人就挺熱心腸兒。只打過一次交道，其他都是郵件來往，當時是因為我突然對用弱測量來測量path integral中的「路徑」突然感興趣問起來Yakir，很想知道有沒有人討論過這個問題。他剛好在Yakir身邊，他在不認識我的情況下，便主動給我幫助。Avshalom上過TED介紹過weak measurement和interaction-free measurement等：https://www.youtube.com/watch?v=SOOn_vEFKaY。

這兒提供一下：Vaidman的主頁以及各種思考問題的角度，和他被拒的文章哈。http://www.tau.ac.il/~vaidman/

Berry的超振蕩(superoscillation)

Michael Berry做了很多工作都讓我備受啟發，當然對於大眾來說，他最有名的工作還是他的那張「臉」了：Berry face…Oops, Berry phase! 這當然是一個玩笑了。Mechael自己也常常開玩笑，因此倒也沒啥不敬。相反，Mechael的其他「非著名」工作很多都給我靈感。大家知道，Mechael是數學物理出身，他的動力系統微分方程和特殊函數方面的數學知識，真的讓我非常佩服不已。儘管我自己也是理論物理出身，也有自己擅長或不擅長的數學物理計算方法之類，但是在我擅長的那部分，我確實是超自信的！（嗯，從沒服過誰。。。）但是，就算和我擅長的那部分數學對比，Berry都要強過我不是一點點，而是整整一個level。我倒並不是自謙,但這種遇到大師級的挑戰讓我熱血暗涌，似乎看見了天外有天，有種「學無止境」的感覺。

(圖: Michael Berry, 他的個人主頁:Professor Sir Michael Berry

說到Berry phase,這自然是Nobel級別的工作。但是幾何相(geometric phase)，原本的思想並不來源於Berry,而是Berry匯總並推廣在物理學中發揚光大了。說起來，Berry自己卻常說Berry phase的想法來源之一就是Aharonov-Bohm(AB)效應。這個說法也是可信的，原因在我看來有兩個：Aharonov和Berry都在Bristol待過，而且Berry現在也依然留在Bristol工作，這使得Berry會是最早接觸AB效應的優勢。而另一方面Berry phase的物理本質其實就是AB效應，或者，反過來說也行。只不過Berry phase從數學上準確地定義了幾何相併推廣開來，而AB效應就是一個具體的在電磁場上的物理效應而已。

值得注意的是，Michael Berry非常的尊重Yakir Aharonov，這一點在旁觀他們彼此交流的過程中就能看出來。從物理上來說，這種尊重也是可以理解：Yakir並不是那種數學高手，但卻有很多原創的物理思想，不管是AB效應還是weak value等；而Mechael由於數學能力強大，能看到更廣泛存在於數學和物理中的關聯。這大概就是AB效應和Berry相之間的聯繫和區別，就像Aharonov與Berry的異同之處。

Berry關於superoscillation的工作：Faster than Fourier，也來源於Aharonov在1988年的第一篇提出弱值的文章中的一個輔助計算公式。但是卻被Berry看到了一些超越Fourier變換的物理過程！有時候，你真的不得不佩服一些人看待事物的眼光和角度（雖然大家都是同行），加上Berry那強大的數學能力，便很快發展出一套有趣的理論來了。

我的專欄是關於weak measurement和weak value的，但是你們要知道其實這個領域有很多搞不清楚的問題存在，就像Aharonov自己寫的那本書名一樣: quantum paradoxes，因此我不會把它當做已知的科學知識普及給大家，而是從一個物理研究者的角度來觀察，這個領域將會往哪兒發展。而且對於從事物理研究的人員來說，你們可以輕易找到相關的英文文獻和資料，我不會做」僅僅是英翻中」的重複勞動。恰恰相反地，我希望我的讀者能在大量參閱了英文文獻的情況下，來看我寫的這個弱測量和弱值的小科普，並且依然能有所收穫和啟發。

如果能啟發你去像Yakir一樣去實驗上設計思考paradox，或者像Berry一樣用自己的數學技巧來拓展，或者像更多科學家一樣直接去做個試驗等等，那於我寫的小科普er的專欄來說，都是大大的認同。

弱值的實驗進展

其實並沒有太關心，因為這些進展並不是我自己希望看到的進展方向；但對於理解弱測量來說，這些進展聊勝於無嘛。我會之後介紹一些Ady Aire組在superoscillation方面的實驗工作，以及Boyd組在interaction-free imaging方面的工作，其實還有很多大佬們的工作，等我有機會和他們接觸下來之後再慢慢分析之，比如A. Steinberg等。

為什麼不太對目前的實驗進展不太上心，主要原因就是目前的弱測量的實驗都是基於光學系統開展的。而關於電子系統，特別是單電子的弱測量卻沒有。當然，單電子量子調控在技術上是非常有挑戰的，但是只有單電子波函數才是量子測量以及弱測量理論，最最重要的「試驗場」！（有點兒情緒化了）

而光學的測量結果，從根本上來說並不需要量子力學，也不會真的能說明量子測量的詭異。單電子卻很不同，它有自己的質量和電荷，甚至自旋，這在測量坍縮的過程中到底發生什麼物理變化了，才是弱測量想要回答的問題。弱值，這個概念當然可以被廣泛地運用到各個光學和電子學領域中去。但是我們目前需要解決的問題，就是在實驗上找到關於單電子波函數的弱值數據。這些問題是我的興趣所在，也是我研究弱值的動力所在：怎麼說呢，「愛上一匹野馬，家裡正在建著草原.....」

這一章，算作是引子，講講弱測量和弱值的基本概念以及一些我個人和這個領域裡面的幾個大佬們的交流經驗。

我非常直白地把對這個領域接觸的感受和看法寫下來，並不是為了顯擺自己的經歷。相反地，我希望通過個人研究經驗來幫助讀者認識到弱測量是一個很有趣又很新鮮的東西。有些時候，這些創立這個理論的大佬們其實也搞不清楚到底發生了什麼。

當然，我對弱值研究的想法也不少。就像我給Aharonov第一次遞稿的時候，我可是覺得自己做了一個重大工作啊，因為找到了一個方案實現了對 $[x,p]=ihbar$ 的實驗測量啊！雖然從Vaidman的角度，我的工作就是bullshit。但是這種壓力和打擊卻激發了我更加深入和大膽地思考，並且還讓我發現了量子力學與黎曼猜想之間的一點兒有趣聯繫（這個又跟M. Berry的一個工作有關）。這些粗糙結果雖然不夠成熟並不值得發表，卻激勵著我學習研究和這個關於弱測量專欄的創作。

後面的內容，會具體到弱測量領域中某一個方向中去討論，因此內容會變得更加困難（恐怕是對於大部分的讀者來說）。不僅對於讀者你，也對於創作者我來說，『把它們介紹清楚』也都是一個挑戰。但是請相信我，我身上有一種「騙人」的才能，即：就算自己不懂也能把你給「說懂」！。但是也請放心，我會提供大量的文獻供你參考。最後收尾，回到這個標題上面來看，弱測量其實並不「弱」！

（第一稿: 07-March-2018）