定積分

03-14

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預備知識　導數，極限

首先以不均勻細繩的質量為例，引入定積分的思想

例1　不均勻細繩的質量

　　一條密度不均勻的繩子長為 $L$ ，橫截面積是 $S$ ，細繩距離 $O$ 端 $x (x<L)$ 處的密度為 $ρ(x)$ ．求繩子的質量．

圖1：密度不均勻的繩子

　　如果題目中，密度是恆定的，那麼直接可以寫出繩子的質量為 $m=LSρ$ ．但是題中 $ρ(x)$ 是關於 $x$ 的函數，所以我們要尋找另外的做法．假設繩子的密度變化是連續且「平滑」的，我們可以通過把繩子分割成 $n$ 小節（注意這些小節必須嚴格地首尾相接，不能有重合或者空隙）．第 $i$ 節取 $x_i$ 到 $x_i + 1$ ，令其長度為 $x_{i+1}-x_i = Delta x_i$ 使每一個小節內，密度可以近似看成是恆定的，這樣我們可以用 $ho(xi_i) quad (x_i leqslant xi_i leqslant x_{i+1})$ 來代替第 i 節的密度，當每一節足夠小時，可以認為 $xi_i$ 在 $x_i leqslant xi_i leqslant x_{i+1}$ 約束下的取值並不會影響結果．第 i 小節的質量為

$Delta m_i = ho(xi_i) Delta x_i S$ 　　(1)

所以總的質量用求和符號來表示，就是

$m = sum_{i = 1}^n Delta m_i = sum_{i = 1}^n ho(xi_i) Delta x_i S = S sum_{i = 1}^n ho (xi_i) Delta x_i$ 　　(2)

由於當 $n$ 取有限值時，上式並不精確成立，所以只能使用約等號，但是 $n$ 越大，約等號兩邊就越精確成立．這是極限的思想，用極限符號來表，就是

$m = lim_{n o infty} sum_{i = 1}^n Delta m_i = lim_{n o infty} sum_{i = 1}^n ho(xi_i)Delta x_i S = S lim_{n o infty}sum_{i = 1}^n ho(xi_i) Delta x_i$ 　　(3)

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