球貝塞爾函數

03-13

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預備知識　貝賽爾函數

　　球貝塞爾方程為

$x^2 frac{partial^2 y}{partial x^2} + 2x frac{mathrm d y}{mathrm d x} + [x^2 - n(n + 1)]y = 0$ 　　(1)

兩個線性無關的解分別為第一類球貝塞爾函數 $j_n(x)$ 和第二類球貝塞爾函數 $y_n(x)$ ．

$j_n(x) = sqrt{frac{pi}{2x}} J_{n+1/2}(x) qquad y_n(x) = sqrt{frac{pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x)$ 　　(2)

$h_n^{(1)}(x) = sqrt {frac{pi }{2x}} H_{n+1/2}^{(1)}(x) = j_n(x) + mathrm i y_n(x)$ 　　(3)

$h_n^{(2)}(x) = sqrt{frac{pi }{2x}} H_{n+1/2}^{(2)}(x) = j_n(x) - mathrm i y_n(x)$ 　　(4)

一階導數（ $f$ 是 $j, y, h^{(1)}, h^{(2)}$ 中的任意一種）

$f_n(z) = f_{n-1}(z) - frac{n+1}{z} f_n(z)$ 　　(5)

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