Gamma 函數

03-13

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預備知識　定積分

結論

　　當 $x$ 取實數且 $x > -1$ 時，可以定義連續的階乘函數為

$x! equiv Gamma (x + 1) = int_0^{+infty} t^x mathrm e^{-t} mathrm d{t}$ 　　(1)

遞推關係仍為

$x!=x(x-1)! qquad (x > 0)$ 　　(2)

　　首先定義 $Gamma$ （Gamma） 函數為

$Gamma(x) = int_0^{+infty} t^{x-1} mathrm e^{-t} mathrm d{t}$ 　　(3)

當 $x leqslant 0$ 時該積分在 $x = 0$ 處不收斂，以下僅討論 $x$ 為正實數的情況（註：事實上，自變數為負實數（非整數）時， $Gamma$ 函數有另一種定義，這裡不討論）．

　　我們現在驗證當 $x$ 取正整數時，新定義的階乘 $x! = Gamma(x+1)$ 與原來的定義 $x! = x(x-1)dots 1$ 相同．首先

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）