力場勢能

03-14

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預備知識　位置矢量，矢量場，功，牛頓—萊布尼茲公式

力場

　　高中物理中我們已經學過一些場的概念，即質點受場的力取決於質點在場中的位置．例如地球表面局部的引力場可以近似看做一個恆力場（稱為為重力場），即在一定區域內，質點總受向下的，大小恆為 $mg$ 的重力（矢量式 $mathbf{F}=mmathbf{g}$ ）．又例如水平面上一根原長忽略不計的彈簧，一端固定在原點，另一端連接質點，那麼質點受力總指向原點，大小等於勁度係數和位矢模長的之積 $kr$ ．如果用矢量的方法表示，就是 $mathbf{F}=-kmathbf{r}$

　　總結到一般情況，力場可以用場對質點施加的力（矢量）關於質點位置（即位矢）的矢量函數表示，所以力場是一種矢量場．

例1　引力場

　　球坐標原點處質量為 $M$ 的質點在周圍造成的引力場為

$mathbf{F}(mathbf{r})=-Gfrac{M}{r^2}mathbf{hat r}$ 　　(1)

若位矢用 $mathbf{r}$ 來表示（ $mathbf{r}=rmathbf{hat r}$ ），則

$mathbf{F}(mathbf{r})=-Gfrac{M}{r^3}mathbf{ r}$ 　　(2)

現在變換到直角坐標系中，有

$left{egin{aligned} mathbf r = x,hat {mathbf x} + y,hat {mathbf y} + z,hat {mathbf z}\ r = sqrt{x^2 + y^2 + z^2} end{aligned} ight.$ 　　(3)

代入上式，展開得

$mathbf F(mathbf r) = - frac{GMx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}mathbf x - frac{GMy}{(x^2 +y^2+z^2)^{3/2}}mathbf y - frac{GMz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}mathbf z$ 　　(4)

　　顯然球坐標系中的引力場表達式比直角坐標系中的要簡潔得多．由此可見，對不同的矢量場選擇適當的坐標系往往可以簡化問題．

　　若質點從場的一點移動到另一點的過程中，力場對質點做的功只與初末位置有關，而與質點移動的路徑無關，那麼這個力場就是一個保守場．這時我們可以給該質點定義一個勢能函數，勢能函數是一個關於位矢的標量函數，一般記為 V(r)V(r)，具有能量量綱．當質點從一點以任意路徑移動到另一點時，場對質點做的功等於質點初位置的勢能減末位置的勢能，即

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力場 勢能

力場

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