概率流密度

03-13

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預備知識　含時薛定諤方程

結論

　　一維情況下，對於某個波函數 ψ(x,t)，定義概率流為

$egin{equation} J(x,t) = frac{mathrm{i}hbar}{2m} left( psi frac{partial psi^*}{partial x} - psi^* frac{partial psi}{partial x} ight) end{equation}$ 　　(1)

某個區間中的概率增加率等於流入該區間的概率流

$egin{equation} frac{mathrm d}{mathrm d t} P_{ab}(t) = J(a,t) - J(b,t) end{equation}$ 　　(2)

三維情況下，概率流的定義變為

$egin{equation} mathbf J(mathbf r,t) = frac{mathrm{i}hbar }{2m} (psi abla psi^* - psi ^* abla psi) end{equation}$ 　　(3)

且有

$egin{equation} frac{mathrm d}{mathrm d t} P_mathcal{V}(t) = frac{mathrm d}{mathrm d t} int_mathcal{V} left|{psi (mathbf r,t)} ight|^2 mathrm d{V} = int_mathcal{S} mathbf J(mathbf r,t) cdot mathrm d{mathbf s} end{equation}$ 　　(4)

或寫為概率守恆公式（類比電荷守恆）

$egin{equation} frac{mathrm d}{mathrm d t} (psi^* psi) + ablacdot mathbf J = mathbf 0 end{equation}$ 　　(5)

平面波的概率流的速度就是例子密度．

推導

　　對一維情況有

$egin{equation} frac{mathrm d}{mathrm d t} P_{ab} = frac{mathrm d}{mathrm d t} int_a^b psi^* psi mathrm d x = int_a^b left(psi frac{partial}{partial t} psi^* + psi^* frac{partial}{partial t} psi ight) mathrm d {x} end{equation}$ 　　(6)

一維薛定諤方程以及復共軛為

$egin{equation} mathrm{i} hbar frac{partial psi}{partial t} = - frac{hbar ^2}{2m} frac{partial^2 psi}{partial x^2} + Vpsi end{equation}$ 　　(7)

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