西羅定理

這一次我們來談西羅定理，在正式談這個話題之前，我要來解釋一下為什麼我們要談論這個話題。

1. 我們在學習拉格朗日定理的時候，知道了每個子群都對應了大群階的一個因子，那麼大群階的因子都會反過來對應一個子群嗎？循環群是成立的，並且這種對應是一一的。但並不是所有的群都成立：

2.西羅定理其實還給出了一種研究有限群的方法，前面講子群的時候就提到過，子群也是研究群性質的一個途徑，而西羅定理恰好給出了一類子群的性質。

1. 西羅定理的證明非常經典且重要。它的證明是利用群作用研究群的一個典範，很值得我們學習和模仿。但這麼精彩的證明似乎卻並不是西羅給出來的，據說當初西羅的證明有十幾頁！

話不多說，看下正文吧。

在此之前，我們需要一個引理：

這個引理對循環群顯然是成立的，如果是循環群的話，你將如何證明它？肯定是把g表示成某個生成元的冪次，然後讓冪次乘以p，看看這個生成元會不會變成幺元。生成元如果某個次冪會變成幺元，那這個次冪一定是|G|的倍數。所以你只要生成元的|G|p次冪就行。

如何把它推廣到一般的abel群？需要把前面那個定理中的生成元剔除出去。

注意到前面其實是用生成元構造g，而那裡只用到生成元的周期是|G|的倍數，因而我們首先考慮周期為p的倍數的元素，果然能用它構造出g。

之後我們要設法構造出周期為p的元素來，怎麼構造?

注意到以下事實：1.p階群一定是循環群。2.p階循環群一定有p階元。3.代表元的周期一定整除生成商群中元素的周期，即是說，商群中的這個元素如果是p階的，那麼它對應的代表元一定也是p階的。

於是思路就很清楚了，我們把|G|中所有非p階元取來，利用它生成的循環群不斷做商群，最後得到一個p階循環群，利用它天然的p階元構造出原群里的p階元。當然為了說得簡潔一點，我們使用了數學歸納法。

這個定理顯然是柯西引理的推廣，當然也是循環群的推廣。由前面證明的啟示，這一階為的子群大概也可以通過把多餘的子群商去而構造出來。為了方便起見，我們使用數學歸納法。

為了更好地利用群與子群階的關係，我們使用了上節所示的群方程。該方程左端是群的階，右端是一個群的階+一堆指數，在上節里，我們已經初步見識到了它在揭示群結構方面的重大作用，相信這次也不會上我們失望的。

當然階與指數是不同的，這就意味著我們需要分開討論它們，討論的標準正是|C|與p的整除關係。之後利用好歸納法就容易得到了。

這裡把第二第三定理綜合在了一起。它說明了西羅p-子群的三個性質，共軛性質、同餘性質、子群鏈性質。

共軛性質是說任意兩個p-Sylow子群都共軛，很容易想到，我們選取的作用集合應當是p-Sylow子群構成的集合，作用方式是共軛作用。籍此我們能順便證明同餘性質。

我們的證明分為這幾步：

1. 把所有的p-Sylow子群拿出來，選G作用在其上，使用共軛作用，只要證明他只有一個軌道就可以了。
2. 選取一個軌道，取其中一個p-Sylow子群，共軛作用在這個軌道上，

列出作用方程:

再通過分析得知，只有取出的那個子群為作用的不動點。剩下的部分都是p的倍數，因此除p餘1.

1. 如果有新的子群不在我們選定的軌道里，取這個子群產生群作用，仿造前面，由於這個子群沒有不動點，因而上述方程右端每一項都是p的倍數，與我們前面進行的討論矛盾。
2. P-Sylow的個數可以用群作用中的核與值域的公式寫出來，它的核就是正規化子，可以很輕鬆導出整除性。

接著我們來談下西羅定理的應用，它的應用主要用到下面這個推論:

它說明西羅定理能有效證明正規子群的存在性，有了正規子群之後，我們可以證明它是Abel群。

那兩道題分別對應如下二級結論：

1. 素數平方階群必為阿貝爾群
2. 如果兩個正規子群交集只有單位元，那麼從它們兩個群中各取一個元素a,b，則有ab=ba，即他們倆的乘法可交換。

有了正規子群，我們可以考慮他它是不是單群。

我們通過簡單的數論知識分析p-Sylow子群可能的數目，設法得到它只有一個，如果還有數論方法得不出的可疑值，就來考慮群中的元素，看看它們各個階元素的個數，能不能導出結論或矛盾。

再看下一個例題：

這一題的處理方法前半段幾乎是一樣的，但是在後半段構造正規子群的時候就有不同了。前面是用元素的階構造出來的，這裡是用正規化子構造出來的。但是它們都利用了p-Sylow子群導出的數量特徵，前者是對內的，它的元素的階應該是什麼樣子（特別是它為循環群的時候）；後者是對外的，它在子群的整除鏈中的地位是什麼樣的（有拉格朗日定理，子群的階必然整除大群的階）

對於某些特殊的群。我們甚至藉助西羅定理可以得到它的結構：

這個證明的第一段和前面一樣，重點來說說後面的，後面的部分其實遵循了這樣的步驟：

1. 找到G的生成元，這個也和前面一樣
2. 找到這些生成元之間的約束關係，本題中就是利用正規子群的性質，用一下元素版本的定義，其實很多問題也是這麼使用的。
3. 確定這個約束關係是唯一的。本題中是把ab的等式中消去a，得到約束參數的數論性質，說明了那一類參數描述的其實是同一種約束關係。

寫在後面的話：

1. 西羅定理的證明思路其實各個教材也不完全一樣，比較主流一點的近世代數引論（馮克勤等），代數學引論（聶靈沼，丁石孫)以及抽象代數之代數學基礎（孟道驥等）都用了一個組合數的性質，後面的過程雖然不夠自然，但把群在集合上的作用突出得特別明顯，這個問題我大概之後會介紹
2. 有限單群也是一個十分重要的問題，而西羅定理是研究有限單群的一個卓有成效的定理。稍後我應該也會專門討論這個問題，順便證明一個結果，最小的有限單群是.

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