球坐標系

03-13

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預備知識　位矢，矢量的叉乘

球坐標

　　三維直角坐標系中的一點 $P$ 的位置可以用 $(r,θ,?)$ 這3個有序實數來表示，稱為該點的球坐標（圖 1 ）．其中 $r$ 表示該點到原點的距離 ( $r?0$ )，即位矢的模長； $θ$ 表示該點的位矢與 $z$ 軸的夾角 ( $θ∈[0,π]$ )，即極角； $?$ 表示該點的位矢在 $x?y$ 平面上的投影與 $x$ 軸的夾角 ( $?∈[0,2π]$ 或 $[?π,π]$ )，即方位角．注意有些教材中用 $θ$ 表示方位角， $?$ 表示極角，或者將 $?$ 記為 $φ$ ， $r$ 記為 $ρ$ 等，需要通過上下文判斷每個坐標符號的具體含義．

圖1：球坐標系

球坐標系中的單位矢量

　　三個球坐標分別有對應的單位矢量 $hat {mathbf r} , hat {mathbf heta}, hat {mathbfphi}$ （如圖）．定義它們的方向分別指向對應坐標增加的方向，例如 r 增加時，點 P(r,θ,?) 就向 $hat {mathbf r}$ 的方向移動．三個單位矢量兩兩垂直，形成一組正交歸一基底，任意三維矢量都可以表示成它們的線性組合．即

$mathbf v = (mathbf v cdot hat {mathbf r})hat {mathbf r} + (mathbf v cdot hat {mathbf heta})hat {mathbf heta} + (mathbf v cdot hat phi)hat phi = v_r hat {mathbf r} + v_ heta hat heta + v_phi hat phi$ 　　(1)

與直角坐標系不同的是，按照定義，球坐標的三個單位矢量是關於 $θ$ 和 $?$ 的函數．即 $hat {mathbf r}( heta, phi), , hat heta ( heta, phi), , hat phi(phi)$ ．例如 $P$ 的球坐標為 $(1,π/2,0)$ ，直角坐標為 $(1,0,0)$ 時， $hat {mathbf r} = hat {mathbf x}, , hat heta = -hat {mathbf z}, , hat phi = hat {mathbf y}$ ．但是球坐標為 $(1, π/2, π/2)$ ，直角坐標為時，

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