四階龍格庫塔法

03-13

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預備知識　中點法解常微分方程（組）

　　龍格庫塔法 是一類數值解微分方程的演算法，其中較常見的是四階龍格庫塔法．這裡不進行推導，僅僅給出公式如下（ $y_n, t_n, h$ 的定義類比式 5）

$y_{n+1} = y_n + frac h6 (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$ 　　(1)

其中

$egin{aligned} &k_1 = f(y_n, t_n) & & k_2 = fleft(y_n + hfrac{k_1}2, t_n + frac h2 ight)\ &k_3 = fleft( y_n + hfrac{k_2}2, t_n + frac h2 ight) & qquad & k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h) end{aligned}$ 　　(2)

由以上兩式，不難把該演算法拓展到方程組的情況．對於 $N$ 元微分方程組

$left{egin{aligned} &y_1(t) = f_1(y_1,dots, y_N, t)\ &y_2(t) = f_2(y_1, dots, y_N, t)\ &qquad vdots\ &y_N(t) = f_N(y_1,dots, y_N, t) end{aligned} ight.$ 　　(3)

我們可以把該式記為矢量函數的形式

$mathbf y(t) = mathbf f(mathbf y, t)$ 　　(4)

現在我們僅需要把式 1 和式 2 中的所有 $y_i$ 和 $k_i$ 都變為 $N$ 維列矢量 $mathbf y_i$ 和 $mathbf k_i$ 即可將微分方程拓展為微分方程組．

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