量子力學基本概念

03-13

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本章選自 laserdog 編寫的量子力學/量子場論的講義

描述一個態

　　我們用如下記號： $|alpha angle$ 來描述一個態，這種描述也稱為「右矢」．從某種程度上，它可以理解為我們線性代數裡面學過的列矢量：

$|alpha angle = egin{pmatrix} x_1\ x_2\ vdots\ x_n end{pmatrix}$ 　　(1)

　　當然，這麼寫出來的話，肯定要指明我們實在怎樣的一組坐標下面來進行這個描述的．一旦清楚的說明坐標了之後，這個態的意義也就明確了起來．在量子力學的課程中，一個很容易造成困擾的概念就是「疊加態」．請大家一定記住，疊加態並不是什麼奇怪的事情．比如，你在三維直角坐標系中，有一個點 $(1,1,1)/sqrt{3}$ ，你會覺得「不可思議！竟然可以同時處於 $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸的混合態」嗎？不會吧．所以，在量子力學裡面，你也不必對此大驚小怪——大家其實是同樣的數學結構．

　　有右矢自然就有左矢．代數的講，一個右矢對應的左矢是它的 Hermitian 共軛（註：其實這有約定俗成的翻譯：厄米；然而，這個翻譯實在是不能達意，我並不打算使用它），通常會用 h.c 來表示（Hermitian Conjugation）．共軛大家肯定知道，就是複數裡面把幅角取反即可了，但是如果在此基礎上再做一個轉置的話，就構成了 Hermitian 共軛，形成了左矢，也就是一個行向量．

$langlealpha| = (x_1^*, x_2^*dots x_n^*)$ 　　(2)

　　舉一個簡單的例子，

例1

　　如果規定

$|alpha angle = frac{1}{sqrt{2}}egin{pmatrix}mathrm i\ 1end{pmatrix}$ 　　(3)

那麼

$langlealpha| = frac{1}{sqrt{2}}(-mathrm i, 1)$ 　　（4）

　　左矢和右矢之間可以做內積，就像一個行矢量和列矢量做內積（乘法）一樣，得到一個數 $langlealpha|eta angle = x in mathbb{C}$ ．還是剛才那個例子，

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）