布朗運動、伊藤引理——細說Black-Scholes公式的前世今生（上篇）
在國際衍生金融市場的形成發展過程中，期權的合理定價一直是困擾投資者的一大難題。期權價格是期權合約中唯一隨市場供求變化而改變的變數，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權交易的核心問題。早在1900年法國金融專家勞雷斯·巴舍利耶就發表了第一篇關於期權定價的文章。此後，各種經驗公式或計量定價模型紛紛面世，但因種種局限難於得到普遍認同。
直到1973年，布萊克（F.Black）和斯科爾斯（M.Scholes）發表了一篇名為《期權和公司負債定價》的論文，推導出了著名的Black-Scholes公式（以下簡稱BS公式），即標準的歐式期權價格顯式解，這個公式的精彩之處在於其中的變數全是客觀變數，完全摒除了個體主觀因素的影響。70年代至今，BS公式為投資者帶來了巨大財富。
然而BS公式的推導並不是一帆風順，在探索它的過程中，你必然會接觸到布朗運動、伊藤引理，布朗運動用於描述證券價格的隨機過程，伊藤引理提供了對隨機過程的函數做微分的框架，最終造就了一個精彩絕倫的BS公式。
1. 布朗運動
布朗運動的發現和發展，有四個重要的時間節點：
1827年英國植物學家布朗發現液體中懸浮的花粉粒具有無規則的運動，這種運動就是布朗運動。但是當時並不能從物理學角度上很好的解釋其成因。
1900年，法國數學家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士論文《投資理論》中，給出了布朗運動的數學描述，提出用算術布朗運動來模擬股票價格的變化。
1905 年，愛因斯坦詳細解釋了布朗發現的這種運動：微粒的無規則運動是由水分子的撞擊形成。
直到1918年，布朗運動嚴謹的定義才被維納（Winener）給出，因此布朗運動又稱為維納過程。
（1）標準布朗運動
設
代表一個小的時間間隔長度，代表變數
在時間內的變化，遵循標準布朗運動的
具有的兩種特徵：
特徵1：
和
的關係滿足下式：
(2.1)
其中，
代表從標準正態分布（即均值為0、標準差為1.0的正態分布）中的一個隨機值。
特徵2：對於任何兩個不同時間間隔
，
的值相互獨立。
從特徵1可知，
本身也具有正態分布特徵，其均值為0，標準差為
，方差為
。
從特徵2可知，標準布朗運動符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。
現在我們來考察遵循標準布朗運動的變數z在一段較長時間T中的變化情形。我們用z（T）-z（0）表示變數z在T中的變化量，它可被看作是在N個長度為的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/
，因此，
(2.2)
其中是標準正態分布的隨機抽樣值。從特徵2可知，i是相互獨立的，因此z（T）-z（0）也具有正態分布特徵，其均值為0，方差為N
=T，標準差為
。
由此我們可以發現兩個特徵：在任意長度的時間間隔T中，遵循標準布朗運動的變數的變化值服從均值為0，標準差為
的正態分布。對於相互獨立的正態分布，方差具有可加性，而標準差不具有可加性。
當時，我們就可以得到極限的標準布朗運動：
（2.3）
（2）普通布朗運動
為了得到普通的布朗運動，我們必須引入兩個概念——漂移率和方差率：
漂移率：是指單位時間內變數z均值的變化值。
方差率：是指單位時間的方差。
標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。漂移率為0意味著在未來任意時刻z的均值都等於它的當前值。方差率為1.0意味著在一段長度為T的時間段後，z的方差為1.0×T。我們令漂移率的期望值為a，方差率的期望值為b^2，就可以得到變數x的普通布朗運動：
dx=adt+bdz （2.4）
其中，a和b均為常數，dz遵循標準布朗運動。這個過程指出變數x關於時間和dz的動態過程。其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。
從上式（2.1）和（2.4）可知，在短時間
後，x值的變化值
為：
因此，也具有正態分布特徵，其均值為a
，標準差為
，方差為
。同樣，在任意時間長度T後x值的變化也具有正態分布特徵，其均值為aT，標準差為
，方差為
。
2、伊藤引理
普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數，若把變數x的漂移率和方差率當做變數x和時間t的函數，我們可以從公式（2.4）得到伊藤過程。
其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變數x和t的函數，變數x的漂移率為a，方差率為b2。
在伊藤過程的基礎上，伊藤進一步推導出：若變數x遵循伊藤過程，則變數x和t的函數G將遵循如下過程：
（2.5）
其中，dz是一個標準布朗運動。由於
和
都是x和t的函數，因此函數G也遵循伊藤過程，他的漂移率為：
，方差率為
。公式（2.5）就是著名的伊藤引理。
（未完待續）
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