升降算符

03-12

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預備知識　本徵方程

結論

　　已知某個算符 $hat Q$ ，若能找到另一個算符 $hat Q_+$ ，使得

$[hat Q, hat Q_+] = h hat Q_+$

成立（ h 是大於零的實數），這個算符就是 $hat Q$ 對應的升算符．同理，若有 $hat Q_-$ 使得

$[hat Q, hat Q_-] = - hhat Q_-$

成立，這個算符就是對應的降算符．升降算符的作用是把一個本徵函數變為本徵值更大或者更小的本徵函數．即

$hat Q(hat Q_pmpsi) = (q pm h) (hat Q_ pmpsi)$

　　有時候如果算符過於複雜求解本徵方程比較困難，就可以嘗試尋找升降算符．升降算符可以讓我們不用求解本徵方程就可以快速地找到本徵值．具體見簡諧振子和軌道角動量．

　　如果 ψ 是 $hat Q$ 的一個本徵函數，且本徵值為 λ，那麼根據對易關係 $[hat Q, hat Q_+] = h hat Q_+$ 有

$hat Q (hat Q_+ psi) = hat Q_+ (hat Qpsi) + h hat Q_+ psi = hat Q_+ (lambda psi) + h hat Q_+ psi = (lambda + h)(hat Q_+ psi)$ 　　(1)

降算符的證明同理．

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）