柱坐標系

03-12

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預備知識　極坐標系

　　若在原有的直角坐標繫上定義柱坐標系（圖 1 ），可用三個變數 $(r, heta,z)$ 描述三維空間中任意一點．其中 $r$ 代表該點到 $z$ 軸的距離（ $r geqslant 0$ ），代表與 $x$ 軸的夾角， $z$ 與直角坐標系相同．

圖1：定義柱坐標系

單位矢量

　　柱坐標系中的單位矢量如圖 1　中的 $hat {mathbf r}, hat {mathbf heta}, hat {mathbf z}$ 所示．與直角坐標系不同的是，三個單位矢量與具體的坐標相關，不是常矢量．這在矢量求導時非常關鍵．

與直角坐標系之間的變換

　　根據三角函數相關定義以及勾股定理，顯然有

$left{egin{aligned} &x = rcos heta\ &y = rsin heta\ &z = z end{aligned} ight. qquad left{egin{aligned} &r = sqrt{x^2 + y^2}\ & heta = arctan2(x,y)\ &z = z end{aligned} ight.$ 　　(1)

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