貝賽爾函數

03-12

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柱貝賽爾方程為

$x^2 frac{mathrm d^2 y}{mathrm d x^2} + xfrac{mathrm d y}{mathrm d x} + (x^2 - alpha^2)y = 0$ 　　(1)

其中叫做階數．兩個線性無關的解分別是第一類貝賽爾函數 $J_alpha (x)$ 和第二類貝賽爾函數 $Y_alpha (x)$ ．

　　該式的解，即第一類貝賽爾函數通常用大寫的 $J_alpha (x)$ ， $Y_alpha (x)$ 表示

$J_{-a}(x) = (-1)^alpha J_alpha (x) qquad Y_{-alpha}(x) = (-1)^alpha Y_alpha(x)$ 　　(2)

漢克爾函數定義為

$H_alpha^{(1)}(x) = J_alpha(x) + mathrm i Y_alpha(x) qquad H_alpha^{(2)}(x) = J_alpha(x) - mathrm iY_alpha(x)$ 　　(3)

遞推關係（ Z 是 $J, Y, H^{(1)}, H^{(2)}$ 的任意一種）

$frac{2alpha}{x} Z_alpha(x) = Z_{alpha - 1}(x) + Z_{alpha + 1}(x)$ 　　(4)

一階導數

$frac{mathrm d Z_alpha}{mathrm d x} = frac12 [Z_{alpha-1}(x) - Z_{alpha + 1}(x)]$ 　　(5)

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）