拉格朗日方程

03-12

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預備知識　牛頓第二定律，偏導數，矢量偏導，點乘的求導法則

　　若系統的狀態可以由幾個獨立的廣義坐標（generalized coordinates） $q_i(t) (i = 1, 2dots)$ 和時間 t 的函數描述，則廣義坐標關於時間的函數可通過拉格朗日方程（Lagrange equation）（註：也叫歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation））解出．

$frac{mathrm d}{mathrm d t} frac{partial L}{partial dot q_i} = frac{partial L}{partial q_i} qquad (i = 1, 2dots)$ 　　(1)

其中 L 是系統的拉格朗日量（lagrangian），等於系統動能減勢能（我們先假設勢能不是 $dot q_i$ 的函數）

$L(q_1, q_2dots, dot q_1, dot q_2, dots, t) = T(q_1, q_2dots, dot q_1, dot q_2dots, t) - V(q_1, q_2dots, t)$ 　　(2)

　　拉格朗日力學與牛頓力學完全等效，其優勢在於，第一，只需寫出拉格朗日量，就可由簡單求導得到完整的動力學微分方程而無需進行受力分析．第二，方程的形式不隨廣義坐標的選取而改變．第三，無需解方程即可以得到一些守恆量．

例1　單個質點

　　若把一個質點作為系統，其直角坐標 $x,y,z$ 就可以看做一組廣義坐標，把它們看做時間的函數 $x(t), y(t), z(t)$ ，則三個函數完整地描述了每個時刻質點的位置．三個函數對時間的導數（即速度的三個分量）記為 $dot x, dot y, dot z$ ，則質點的動能為 $T = m(dot x^2 + dot y^2 + dot z^2)/2$ ．令質點的勢能為 $V(x,y,z,t)$ ，拉格朗日量為

$L(x, y, z, dot x, dot y, dot z, t) = T - V = frac12 m(dot x^2 + dot y^2 + dot z^2) - V(x, y, z, t)$ 　　(3)

現在列出 x 坐標的拉格朗日方程，把上式對 $dot x$ 求偏導（ $y, z, dot x, dot y, dot z, t$ 看做常數，對 $dot x$ 求導），再對時間求導得

$frac{partial L}{partial dot x} = mdot x qquad frac{mathrm d}{mathrm d t} frac{partial L}{partial dot x} = mddot x$ 　　(4)

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