位置矢量位移

03-12

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預備知識 矢量

　　位置矢量（位矢）就是從坐標原點指向某一點的矢量，通常記為 $mathbf r$ ．當定義了一個坐標系，那麼坐標系中一點的位置就可以用位矢表示．

　　有時候表示一個關於位置的函數，通常將位矢 $mathbf r$ 作為自變數．例如一個物體內密度關於位置的分布可以表示為 $ho(mathbf r)$ ．在直角坐標系中，就相當於 $ho(x,y,z)$ ，在球坐標系中就相當於 $ho(r, heta, phi)$ 這麼做的好處是書寫簡潔，而且不需要指定坐標系的種類．

　　在物體運動過程中，可以把物體的位矢看做時間的矢量函數 $mathbf r(t)$ ，則位移 $Delta mathbf r$ 是一段時間 $[t_1,t_2]$ 內物體初末位矢的矢量差

$Delta mathbf{r} = mathbf{r}(t_2) - mathbf{r}(t_1)$ 　　(1)

注意位移只與一段時間內物體的初末位置有關，與路徑無關．

預備知識　全微分，矢量的微分

例1　證明 $mathrm d R = mathbf{hat{R}} cdot mathrm dmathbf{R}$

　　這個證明的幾何意義是，位矢模長的微小變化等於位矢的微小變化在位矢正方向的投影．

　　這裡以平面直角坐標系中的位矢為例證明．令位矢 $mathbf R$ 的坐標為 $(x,y)$ ，模長為 $R =sqrt{x^2+y^2}$ ，模長的全微分為

$mathrm dR = frac{partial R}{partial x}mathrm dx+ frac{partial R}{partial y}mathrm dy = frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}mathrm dx +frac{y}{sqrt{x^2+y^2}}mathrm dy$ 　　(2)

考慮到 ${x}/{sqrt{x^2+y^2}}$ 和 ${y}/{sqrt{x^2+y^2}}$ 分別為 $mathbf{hat R} = mathbf{R}/R$ 的兩個分量， $mathrm dx$ 和 $mathrm dy$ 分別為 $mathrm d mathbf R$ 的兩個分量，根據點乘的定義上式變為

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）

位置矢量 位移

位置矢量位移