誰能深入淺出的講一下凸透鏡成像原理？

03-12

關於凸透鏡成像，一直有個問題：畫成像原理的光路圖時，怎麼沒把人的眼睛考慮進去？人眼睛看到的，才是我們所說的「放大」、「縮小」，人眼睛本身又是個透鏡。
總覺得初高中教材裡面，不考慮人眼，講的不透徹，絕大多數初高中老師，根本也不太懂，講不清楚這件事。
比如，下面這個經典圖，至少有幾個疑問:
1、為什平行光線，一定會折射到同一個焦點？為什麼穿過中心的光線，一定是直射的？光路跟透鏡曲面是怎樣的關係？是不是任何曲面都一定有焦點？
2、人眼睛在哪裡？人眼睛的觀察位置，為什麼收到的光線，一定是圖上畫的這些光線？

3、透鏡的材質，跟焦點有什麼關係？

謝邀，人眼只是觀察者，與光路運行沒有直接關係

答問題一：平行於主光軸的光線會折射到焦點，這是凸透鏡的性質，如果不是，那麼這塊東西就不是凸透鏡了。注意，是「平行於主光軸」的光線，其他的也會匯聚為一點，但不會在焦點上，在過焦點，垂直於主光軸的平面上（參考題圖凸透鏡成實像）

答問題二：光路圖是研究光的路徑，而不是光入眼的路徑，所以不需要眼睛。

物體在某個點上發出（反射）的光線是朝向所有方向的散射光，光路圖中只取了有研究意義的三條線，分別是

- 平行於主光軸的光線 - 經過透鏡後落在焦點上

- 射向透鏡中心點的光線 - 經過透鏡後方向不變

- 穿過焦點的光線 - 經過透鏡後平行於主光軸

其他光線由於研究意義不大通常省略不畫

答問題三：在現實生活中，透鏡材質不同，也就是材料折射率不同，會導致同一焦距的透鏡厚度不同。折射率越大的材料，透鏡厚度越薄，色散程度越小，成像質量越好。換句話說，相同厚度的透鏡，使用折射率越高的材料，焦距就會越短。而中學物理將透鏡視為無厚度的薄透鏡，是理想化模型，自然不會去關心材質問題

如有其他疑問歡迎繼續提出

初高中教材上找不到答案可以看看大學教材啊（當然看了之後可能會有種「你講的光學和我的不一樣」的感覺。。。

然後回答一下這些問題。首先需要知道幾何光學光線是一種在滿足一定近似條件下的理想模型，這裡分析的透鏡也是具有理想成像性能（沒有像差）的透鏡。

1. 在幾何光學作圖法的意義上你可以把這幾條規則當作透鏡的定義，因為只有滿足這些條件的透鏡才能理想成像。當然如果你把凸透鏡理解成「凸的透鏡」，通過光心的光線確實可以不沿直線傳播，但是這樣的透鏡做不到理想成像。

關於這個透鏡長什麼樣的問題，這個其實是可以算出來的，另一個答主說是球面，這不完全正確，球面是在傍軸近似（也就是光線沿光軸傳播距離的平方遠大於在垂直光軸方向距離的平方）下的結果，沒有傍軸近似的話一般來說（沒記錯的話）是一個四次曲面。計算用費馬原理可能會比折射定律方便一點。

2. 幾何光學作圖法畫出的那幾根特殊光線不是因為只能看到那幾根光線，而是這幾根光線最好畫且足夠確定物體像的位置。

另外，做光學實驗的時候觀察實像都是用光屏接受後用人眼觀察其漫反射光的，所以人眼對成像沒有影響。觀察虛像的話，虛像經過人眼透鏡在視網膜上成一個實像，這樣你才能看到它。

3.這一點用1中說的方法也可以算出來。一般來說折射率越大相同形狀的透鏡焦距越短（傍軸近似下）。非傍軸的話折射率不能隨便亂動否則會不能理想成像。

既然題主對這個問題感興趣，最後簡單說下對這個問題的不同視角。

最簡單的一個當然就是題主提到的這個幾何光學作圖法，所能給出的信息也非常有限，只能給出已知焦距的透鏡的成像性質，但是沒法把焦距和透鏡本身的性質聯繫起來，數學上最簡單。

更進一步可以使用幾何光學的基本原理也就是費馬原理，用費馬原理可以給出幾何光學近似情況下透鏡形狀和材質對成像的影響，數學上比前一個麻煩一些。

再進一步是惠更斯-菲涅爾原理，也就是光的標量波衍射理論，用這個理論分析成像問題還能夠給出更多的信息（比如透鏡孔徑的影響，這也是為什麼天文望遠鏡口徑越大越好的原因），這個理論數學上就更複雜了算一個透鏡要做兩次二重積分。

當然上面這個也是近似理論，更嚴格一點的是用麥克斯韋方程組，求解給定邊界條件下的波動方程，這個就麻煩得想摔筆了，還不一定能算出解析解，所以除非前面的近似理論不適用一般沒人這麼干。

簡單寫一下，你現在學的只是透鏡的簡化模型，只有焦點、中心點和平行光才會被討論。透鏡的實質是一塊近似均勻的具有一定折射率的透明體。那麼每條光線打在透鏡上都會發生折射，在入射點附近，通過折射率簡單計算一下，就得到折射角。當這條折射光線到達透鏡另外一個面時，同樣會發生一次折射，再次計算，就可以得到最終通過透鏡的光線路徑。把每條光線都進行這樣的計算，就會得到最終的成像結果。

而透鏡本身是人為設計出來的。比如你要分析的理想凸透鏡，就是恰好使所有平行光都匯聚到一個點的透鏡。換句話說，你學的透鏡是故意做得具有一個焦點的，還可以做得沒有焦點的透鏡，比如散光眼鏡。

人的眼睛只是觀察者，沒有人擋塊白板也能觀察到效果，所以不是必須的。

最後講一下折射的本質。波通過兩種介質分界面時，由於波速的改變，會發生角度改變。光本身也是一種波，所以會發生折射現象。兩種介質波速比越小(後者比前者)，折射率越大。空氣中光速接近真空光速，介質中光速越小，折射率越大，透鏡就可以越薄。這也是為什麼高折射率的鏡片會比較貴。

主要回答一下題主關於人眼成像的問題。

成像的定義是與人眼無關的，只要從A點發出的同心光束/球面波，經過成像系統的變換，形成另一系列同心光束/球面波匯聚在B點，就可以說A點成像在B點。如果一個點集（物）中的各個點都成像，形成另一個點集（像），我們就可以考慮放大倍數，這也不依賴於人眼。用人眼和尺子去測量物（或像）的大小，要將尺子放在物（或像）同一位置，再同時成像於視網膜，則尺子與物（或像）在人眼中的放大倍數相同，而物與像的相對大小不因人眼而改變。

初高中教材不考慮人眼，是因為（1）成像與人眼無關；（2）凸透鏡本來就是一個最簡單的理想模型，用於研究學習最基本的成像規律；（3）人眼成像的規律，也可以用凸透鏡成像的規律近似描述。

許多初高中老師說不清楚人眼成像，是因為他們把人眼當成光屏——最直接的結果就是解釋不清人眼是如何觀察到凸透鏡成的虛像的。

最簡單的人眼模型至少是一個焦距可變的凸透鏡（晶狀體等）+光屏（視網膜）。這樣我們就可以很簡單地在光路中加入人眼——對於給定的相距（眼睛的軸向長度），選擇適當的物距（前後移動頭部）和焦距（改變晶狀體屈曲程度），以凸透鏡所成的像為物，再通過人眼成一次像。

例如對於凸透鏡成實像：

注意幾點：（1）人腦會對視網膜上的像進行翻轉，所以看到的是倒立的像；（2）根據惠更斯原理，凸透鏡所成像上各點均可看作光源，所以即使在像的位置放上光屏，對光進行散射，也不影響人眼再次成像；（3）如果把人眼誤當作光屏，置於凸透鏡所成像的位置，對人眼考慮成像公式 $frac{1}{u}+frac{1}{v}=frac{1}{f}$ ，此時u=0，無論人眼如何變焦也無法成像。

對於凸透鏡成虛像：

類似的，（1）人腦會對視網膜上的像進行翻轉，所以看到的是正立的像；（2）根據惠更斯原理，透鏡右側的光可以看作以虛像上各點為光源發出的光，人眼相當於對虛像相同位置和大小的物體進行成像，在視網膜上成的還是實像；（3）如果把人眼誤當作光屏，則無法對凸透鏡發散的光線成像，也就無法解釋人眼為何可以看到虛像。

謝邀

既然題主要求深入淺出，我就分成三個層次介紹成像原理這個事情吧。

一、基礎

為什麼凸透鏡能成像？我們先把【凸透鏡】三個字去掉，說什麼是成像。

除了凸透鏡能成像，平面鏡能成像嗎？能，你天天照鏡子。

那曲面鏡能成像嗎？能，你照哈哈鏡的逗比樣子就是像。

那湖面能成像嗎？能，你能看到湖底下遊動的魚。

那塑料袋能成像嗎？能，只不過你看到的世界帶了點兒塑料袋的顏色。

那一個小孔能成像嗎？能，看日食最簡單的方法就是小孔成像。

那漁網襪能成像嗎？能，你通過不同的網眼看到了不同的景象。

……

那……一塊板磚……能成像嗎？

「哈？？不能啊！！」可是……真的不能嗎？

這個問題我放在最後說。

剛才我舉了很多能夠成像的例子，他們有什麼共同點？

透明？　平面鏡不透明啊。　

光滑？　塑料袋不光滑啊。　

共同點是：成的像和原來的物體比較接近。

「……！這特么sb都知道的還用你說！！！」

別激動……維基百科就這麼定義的……

Imaging is the representation or reproduction of an objects form; especially a visual representation (i.e., the formation of an image).

更嚴格的定義也是有的：（Maxwell『s ideal imaging）

(1) 每一個物點對應一個像點。

(2) 每一個物面對應一個像面

(3) 像高對物高的比值對每個點都一樣。

總結一下，三句話：點對點，面對面，比值不變。

假設，這個真實的世界是W（world），你看到的像是I（image）是個跟W跟接近的東西。那麼我們定義能成像的東西實際上是一個映射M（mapping），從集合W到集合I的一個映射M。

凸透鏡是這樣一個映射M，它給真實世界W提供一個放大率m，（翻轉或不翻轉圖像），你看到的像I是一個（翻轉或不翻轉且）被m放大或縮小的W。

平面鏡是這樣一個映射M，它給真實世界W提供一個常數放大率1，再將光路逆轉，你看到的像I是一個在平面鏡另一側的真實世界W。

曲面鏡是這樣一個映射M，它給真實世界W提供一個放大率m，再將光路逆轉，你看到的像I是一個在平面鏡另一側的被m放大或縮小的W。

湖面是這樣一個映射M，它給真實世界W提供一個常數放大率1，再附加了一個位移，你看到的像I是一個被位移的真實世界W。

塑料袋是這樣一個映射M，它給真實世界W提供一個常數放大率1，再附加一個只允許部分圖像通過的濾波器F（filter），你看到的像I是一個被過濾的過真實世界W。

小孔能成像嗎凸透鏡是這樣一個映射M，它給真實世界W提供一個放大率m，再將圖像上下翻轉，你看到的像I是一個被m放大或縮小且翻轉的真實世界W。

漁網襪是這樣一個映射M，它給真實世界W提供一個常數放大率1，再切割成數塊，你看到的像I是一個切碎又拼起來的真實世界W。

為什麼凸透鏡能成像？

很簡單，因為它提供了一個從真實世界W到圖像I的【點對點，面對面，比值不變】的映射規則。

至於具體為什麼它能提供這樣一個映射規則，進階和高級再討論。

凸透鏡套個塑料袋是什麼？　光學鍍膜透鏡。(Coated lens)

凸透鏡套個塑料袋再放湖裡是什麼？　油浸潤型顯微物鏡。(Immersive objective lens)

凸透鏡加個小孔是什麼？　空間低通濾波器。（Spatial filter）

凸透鏡加漁網襪是什麼？微透鏡陣列。（Micro-Lens array）

凸透鏡加平面鏡/曲面鏡是什麼？光學諧振腔。(Optical cavity)

……

所謂光學的應用不過就是以上幾種塑料袋、漁網襪、小孔、鏡子等等的加加減減組合運用而已。

二、進階

幾何光學幾乎所有推論都基於折射定律（snells law）。

nsin(a)=nsin(a)

光從一個介質進入另一個介質，會發生一定角度的折射。

那對於一塊玻璃，光線是不是進入玻璃經過一次折射，然後離開玻璃再經過一次折射？

現在我們把一塊凸透鏡切成上中下三塊。上面是一個正的小三角，中間是一塊長方形，下面是一個倒的三角形。

所以，不同角度出發的光線經過透鏡，跟透鏡表面形成不同的夾角，產生不同程度的折射。

從一個真實世界W的一點發出的光，經過三塊『透鏡』，又重新彙集成一點，最終形成了點對點的成像關係。用同樣的方法，你可以將透鏡分成無數份，每一份都有對應的折射，這就是為什麼凸透鏡能成像。

既然是點對點的關係，那焦點是平行光形成的，它對應著什麼點？

事實上，平行光只是在概念中存在的一種光，由在無窮遠處的物體發出的。可是這個世界真的無窮大嗎？真有無窮遠的東西嗎？

沒有。

所以焦點可以定義為，很遠很遠的物體的光匯聚成的一點。（多遠算遠？這個看情況。）

無論什麼樣的透鏡都有焦點嗎？

當然。對任意一個更提供【點對點】成像規則的透鏡。你只要將物體放在很遠很遠的地方，成像的地方自然是它的焦點。

不同的透鏡材質對焦點有什麼影響？

不同的玻璃也能提供不同的折射率n，所以提供了不同的折射角度。玻璃提供的折射率越大，焦點距離透鏡越近。

先寫到這，有空再更。

三、高級

我就只說說關於問題中的人眼的問題吧

所謂凸透鏡成像，本來就沒有人眼什麼事啊。

簡單來說，就是物點經透鏡變成像點，這就是成像過程，然後根據透鏡的性質，物距的不同所成像點的位置也就不同。這個成像的過程是客觀存在的，不管你眼睛看不看，它都在那。只是平時做事實驗的話，還是眼見為實。