原函數的定義和定理是什麼？

原函數(primitive function)是指已知函數f(x)是一個定義在某區間的函數，如果存在可導函數F(x)，使得在該區間內的任一點都存在dF(x)=f(x)dx。

則在該區間內就稱函數F(x)為函數f(x)的原函數。

原函數的定義

已知函數f(x)是一個定義在某區間的函數，如果存在可導函數F(x)，使得在該區間內的任一點都有

若F"(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，則在該區間內就稱函數F(x)為函數f(x)的原函數。

例:sinx是cosx的原函數。

原函數存在定理

若函數f(x)在某區間上連續，則f(x)在該區間內必存在原函數，這是一個充分而不必要條件，也稱為"原函數存在定理"。

函數族F(x)+C(C為任一個常數)中的任一個函數一定是f(x)的原函數，

故若函數f(x)有原函數，那麼其原函數為無窮多個.

例如，x是3x的一個原函數，易知，x+1和x+2也都是3x的原函數。因此，一個函數如果有一個原函數，就有許許多多原函數，原函數概念是為解決求導和微分的逆運算而提出來的。

例如:已知作直線運動的物體在任一時刻t的速度為v=v(t),要求它的運動規律 ，就是求v=v(t)的原函數。原函數的存在問題是微積分學的基本理論問題，當f(x)為連續函數時，其原函數一定存在。

幾何意義和力學意義

設f(x)在[a,b]上連續,則由 曲線y=f(x),x軸及直線x=a,x=b圍成的曲邊梯形的面積函數(指代數和--x軸上方取正號,下方取負號)是f(x)的一個原函數.若x為時間變數,f(x)為直線運動的物體的速度函數,則f(x)的原函數就是路程函數。