群作用

03-06

這一節是一個非常重要的主題，群在集合上的作用。群論的很多應用都是從這裡起步。一個很經典的例子就是我們在討論對稱的時候引入的那些群，它們都是作用在某個集合上的變換群。

很多時候，我們都可以把這個映射用運算表示出來（運算本就是特殊的映射），這時就需要巧妙地構造Ｓ了。

Ｓ可以選成群本身，也可以選成自然定義出來的傍集、商群上，作用可以選成運算本身，也可以選成由運算自然導出的共軛。

下面是一些新的定義：

群作用可以來和線性映射比較一下：

線性映射每個元素只能有一個像，但是群作用可以有很多像，並且這些像一定包含自身！接下來還會證明，像相同的元素構成了Ｓ的一個劃分。

線性映射的核是變成０（加法幺元）的元素全體，其它元素加減核中元素不影響映射過去的值。群作用也要研究類似於核的東西，但我們的思路與線性映射略有不同，我們是先固定Ｓ中的一個元素ｘ，然後研究不改變ｘ的Ｇ中元素。不改變值的映射自然就是恆等映射，很容易想到，它就是Ｇ中的幺元。

總而言之，我們在研究線性變換的時候，是固定了某一個線性變換，然後得到像與核，像是作用集像的全體，核是映射到作用集像的幺元全體。而群作用的時候，都是先固定Ｓ中的一個元素ｘ，然後也得到像與核，但是這裡的像是ｘ變換出的元素全體，核是限制到ｘ時作用群的幺元全體。

這也就是為什麼我們要引入這兩個概念。

下面先證明軌道是一個劃分：

接下來的這個引理闡明了群作用的像與核的對偶關係：

由這個引理很容易得到：

下面這個例子給出了中心化子的一個新的視角：

它也暗示我們，如果取Ｓ＝Ｇ，作用為共軛作用，那麼所得到的東西都是我們所熟知的。

這個定理有很多應用，它可以回答群結構的很多問題，下面我們用一個例子表明它的威力

這是一個經典的證明，我們也應該從裡面學到一些東西——構造子群的技巧，這裡證明的關鍵就是構造出了Ｃ（ａ），然後利用它們之間的包含關係，導出數量關係，逼出等式來，這種證明在有限群中的應用特別多。當然這個只是最簡單的一個證明，你可以很容易把你要證明的東西寫成群的等式，一邊是已知的群，一邊是未知的群，然後把未知的群設出來，導出包含關係，就得到了答案。這個技巧在環論里也會接著用到。

這個例子闡明了正規子群與正規化子的群作用含義。

這是一個沒有不動點的變換群，不動點的含義在上一節最後一個定理——不可解的證明中出現過。就是在每個變換下都不發生改變的那些元素。這種研究思路與前面的迥異，前面的是固定元素研究變換，這裡元素也要變。如果你以前接觸過組合數學的話，你馬上就會意識到，元素和變換之間存在一個可以算兩次的二元對（ｓ，ｇ），考慮ｇ＊ｓ＝ｓ的那些二元對，分別對ｇ與ｓ求和，會發生什麼呢？

寫在後面的話：

Ｂｕｒｎｓｉｄｅ定理的組合含義暫時不說了，只能提示一下它與對稱相關。以後會另外準備專題講ｂｕｒｎｓｉｄｅ定理與柯西計數原理。
引入群作用之後的群的內容與前面的迥異，Ｊａｃｏｂｓｏｎ把這種稱為帶運算元群，具體可以參考理解有線性變換的線性空間，看線性變換對線性空間結構研究的重要性和抽象性。
群作用是Ｇ×Ｓ——Ｓ的映射，如果把Ｇ換成環，Ｓ換成群，又形成了一個新的代數結構——模。