置換群

這一節我們的主要內容是置換群，研究置換群的必要性我們可以從多項式的對稱中看出來。

在本節里，我們先是證明了凱萊定理，優化了我們的置換記號，然後研究了對稱群與交錯群的一些性質，最後證明了一個定理。這是我們在群論見到的第一個有難度的定理，它也與伽羅瓦理論有些關係。

我們知道，運算本來就是一個映射，這個映射是把G*G變成G，不是同構。但是如果我們固定前一個G中的元素，就變成了g*G到G上的映射，由於g是固定的，這個不也可以看成後一個G到G的映射，這不就是同構嗎？從這個角度看，凱萊定理簡直是顯然的

下面是它的符號說明：

這種記號勝在直觀簡潔，但具體運算時可能會不容易看出來，所以希望讀者們如果有條件，盡量還是自己動手寫一些。

還記得我們在高代中的行列式一節中學到的奇偶排列的定義嗎？那裡是用逆序數的定義的，我們這裡選取的定義方式雖然與它不同，但是這兩個其實是可以統一的。前面定義的行列式真的非常巧妙，它同時也在一定程度上說明了置換群的一個重要來源和例子就是多項式上的對稱。

n級奇排列就是{1,2...n}被某個奇置換作用後的排列，因為任意n級奇排列都可以與{1,2...n}通過對換互變，並且與所做對換的個數有相同的奇偶性。偶排列也是如此。

有了這些準備之後，我們就可以證明這個定理：

這個定理的證明已經被拆解不少，但可能仍然有些繞，現在我們把它拆解如下：

1. 假設K為正規子群，則只要證明K=.利用前面的那些準備，只要證明K中含有一個三元輪換。

接著設法構造出一個K中的三元輪換。具體來說就是

其實就是輪換長度最少的嚴格化說法，

接著就是驗證了。它沒有三輪換，又要輪換長度儘可能少，只有可能是或者

K中元素的輪換分解為什麼只有這兩種形式？

哪兩種形式，能否用自然語言敘述？

一種是含有長度大於4的輪換，另一種是只含有長度不超過2的輪換。各位，有沒有發現問題？它為什麼不能有長度等於3的輪換？的確，K中沒有3輪換，但並不代表K中置換分不出3輪換來。

姚慕生老師確實是個治學嚴謹的老師，但我認為這個地方處理地不恰當。應該討論這種情形。

回來繼續說明，α有三種可能

1. （1,2,3,4 ...)...有長度大於3的輪換
   （2）（1,2,3)（4,5...)...有長度為3的輪換，並且輪換長度均不超過3（不可能只有一個）
2. （1,2）（3,4）...輪換長度均為2
3. 分別解釋這三種情況。我們的總體思路是一致的，都是配湊出這種形式的輪換的形式，其中β是我們要構造出來的東西，它要使那個式子的不動點更多，繼而導出與α最小性的矛盾。

當然，由於K為正規子群。也在K內，因而乘上α逆後還在K內，這才能與阿爾法比較最小性。

β的構造有一個原則，就是我們只作用與寫出來的括弧，這樣，沒寫出來的括弧中的元素在那個式子的作用下自然是不變的。

分別構造那三個β，長度大於4時，取β=（2,3,4），則上式變為 （3）（4,1,2,..)...，不動點變多。

第二個取β=（1,3,5）。上式化為（5,4,2,3,1，...)變成了(1)中情形，當然取得好一點是可以直接構造出來的。

自此，全部討論完畢。

寫在後面的話：

1. 我好像不加說明的使用了輪換長度，但應該都能理解，就是這個輪換變化的元素個數。
2. 最後那點證明是我自己寫的，如有疏漏，敬請指出。

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