循環群

循環群是只有一個元素生成的群，它的結構平凡而簡單。

第一個定理說明，每個階數（無論無限還是有限）的循環群只有一種。

證明很容易，其實就是說無限階時與n是一樣的，有限階時與modn的剩餘類群中的m是一樣的。

這個定理有點像拉格朗日定理的逆定理。已知子群，可以確定它的階是大群的階的因子，但是已知一個因子，它有沒有一個對應的子群呢？這個定理告訴我們，在循環群里，它是肯定的。

肯定是單位元了，但是當存在這樣一個a，使得|G|恰好是把a單位化的最小數，Abel群G就成為了循環群。A單位化的最小正整數，我們一般稱之為階，它在數論中用途頗多。

這個定理我們將來還會用到，它是判定循環群的一大利器。

接下來我們研究循環群的自同構群。研究的方法雖然簡單，但卻抓住了本質。循環群最重要的是什麼？就是它的生成元。生成元在自同構下會怎麼樣？肯定還是生成元！而自同構一定把生成元映射成生成元嗎？那也是肯定啊，要不然生成元無處可去。

有限階群比無限階群要複雜，我們要從他們的生成元起步。

接下來的表示不超過n且與n互素的正整數組成集合，其上的乘法按照modn 定義，容易得到它是一個群。