群與群中概念的可視化解釋

接下來這堆對稱性的資料選自劉紹學《近世代數基礎》，他在書里詳細地介紹了各種各樣的對稱性，然後用對稱性——這一群的幾何含義導出了群的概念。

這一章的設置是極其形象且巧妙的，它用幾何中的對稱引出了群的概念，用數域中的對稱引出了自同構群，又用多項式中的對稱引出了置換群。並且和本書最後的伽羅瓦理論相呼應，把一些結論的形象化說法都放在了本章，可以說是結構嚴謹了。

當然了，我們也是要藉助本書對群的觀點來給我們的群論一個新的審視角度。

1. 子群。不過一般的子群也沒有什麼太特別的對稱性，但這本書的引入就比較自然，首先，我們很容易想到，把群的運算導入到群的子集上的運算：

我們要著重研究那種運算關係比較好的子集

可以證明，這麼定義出來的也是子群：

1. 中心。中心就是一個對稱化的產物了。

我們把群G比作平面，把子群比作圖形，G上的自同構就是平面上的變換，而群中變換的不動點，就是中心：

1. 內自同構與正規子群：

一個群中交換性的強弱其實也算一種對稱性，它通過可以中心表現出來。中心是與任意元素都可以交換的元素群體。但是，有時候我們只是要去研究與某個特定元素交換的元素全體，就是考慮ax=xa的全體x。而那個式子又等價於：。而這個，不就可以看成是某個與a相關的映射嗎？

我們剛開始本來只是想研究內自同構的不動點的，但是我們卻發現它的不動子群也有很特別的性質。可以證明，這兩種定義正規子群的方法是等價的。

很多人初學正規子群的時候，如果沒有接觸過內自同構，很容易以為aH=Ha，就是H中任一個h，都滿足ah=ha但明白內自同構之後，相信你就會知道，ah=ha，是說h為不動點，而aH=Ha,僅僅不過是說H為不動子群。