群的引入，子群與商群
我們前面說，第三次代數革命的任務就是把運算作為一個獨立於符號之外的事物單獨拿出來研究。因此我們先考慮只有一個運算的集合。
我們要讓它對某個運算封閉，就給出了一個最簡單的代數結構——半群，正整數即為半群。但一般情況下，這個定義太過於簡單，以至於半群往往沒有太好的性質供我們研究，因此我們還要給它加上一些東西。
這一步是把整數擴充為包含0的自然數。
這時候，這個集合就有了很多良好的性質，當然它的性質還可以更好。細心的你可能發現了，它的定義並沒有涉及交換律，而對整數而言，交換律是顯然成立的。
於是我們又有：
當然，群上運算可以不是加法，乘法也可以，全體非零實數是一個乘法群，全體整數構不成乘法群，但用兩個整數1與-1卻可以！它們居然是完全滿足群的定義的，這是怎麼回事，難道群的元素可以只有有限多個？
當然可以！以後我們也會見到越來越多的此類例子。
下面來看一些群的例子，其中有些例子剛才已經提及：
群還有一些性質，這些性質都是可以類比正整數加法群與非零實數乘法群得到：
充分利用了幺元的性質，給e乘e撇這個式子兩個結果
這個的證明倒有點像不等式證明中的1的代換，把幺元寫出來，利用逆的性質很容易就把a1變成a2
證明它是逆就把它乘過去，相信高代中已經有很多的此類訓練
這個就是一種構造性的證明了
假如你是清末的大臣，朝廷派你去考察西方的政治制度，那麼你除了報告憲政和三權分立等的方方面面，你還應該幹什麼呢？對的，你還應該報告它們的地方行政制度，一個國家的政治結構，特別是大國的政治結構，地方行政制度都是必不可少的，除此之外，中央與地方的關係也是重要的問題。
同樣的，對一個群——特別是元素稍多的群，對它子群的研究都是必可不少的，群與子群之間的關係也是重要的研究課題。
關於子群，有如下判定方法：
這個命題你看上去可能沒什麼印象，那我就來帶你回憶一下。在你剛剛學習高等代數的時候，有一個概念叫數域。用現在的觀點來看，數域就是同時是加法群+乘法群再配上一些其它性質和限制。那時候我們如何證明一個數域的子集是子域？證明它對加減乘除都封閉，但是，你在做題中發現，只要它對除法和減法封閉就可以了。事實上，加法群的子群只要證明它對減法封閉，乘法群的子群只要證明它對除法封閉，這正是（2）所說的。
唉，要是那個時候就學了抽象代數多好，我們就可以寫上由子群的性質可得，然後光明正大地偷懶了。
它有一個推論：
下面來看一些子群的例子：
下一個例子是一類重要的子群：
命題2.1就是前面子群的判別法
這個例子是為了引出下面這個定義
生成這個東西，我們該怎麼直觀理解？它不就該是那些元素通過一系列運算生成了一堆新的元素，而這些元素多到不能再生成新的時，它就達到了某種臨界狀態，很容易想到，這種臨界狀態就是對運算與逆封閉，即是說它們構成了一個子群。
但從下面的命題來看，我們的理解和這個定義似乎是等價的：
對於這種只有一個元素生成的子群，我們要特別關心的是它最少要經歷多少次運算才能得到這個子群，但我們怎麼定量描述它呢？其實很簡單！因為它在運算的過程中會有某種周期性。
研究一個國家的政治結構時，除了政體，省市之間的關係也非常重要。而研究這些行政單位的第一步，就是來看看這個國家的各級行政單位各有多少個。
在群里，它的行政單位當然就是子群。我們對群的研究，自然是和研究一個國家不完全一樣。
在群里，我們肯定是不能看著某個群大就稱之為省，小就稱之為市縣。大小什麼的都是相對的。而且，一個群，你要多大就有多大，它的子群等級也可以無限多，肯定是不能每一級的名字都起好的。那怎麼辦呢？
數學家想了一個辦法，我們先取定一個子群H，不妨把它稱為江蘇省。用H作一個集合Ha={ha,h屬於H}，注意H里一定有幺元，所以 Ha中一定有a。因此可以這麼看，Ha就表示有a的那個省，比如a是南京市，Ha表示有南京的那個省——自然就是江蘇省本身，a如果是合肥市，它就表示有合肥市的那個省，自然就是安徽省。
但數學家們很快發現，Ha並不是一個群啊，一個群一定要有幺元，但是Ha可不一定，它只是一定有a。莫非我們的嘗試白費了？塞翁失馬焉知非福，數學家們很快又發現，雖然它不能用來研究子群與子群之間的關係，但在研究群與子群之間關係時，卻能出發揮重要的作用。
如果Ha=Hb，等價於a,b在同一個省里，在數學上怎麼說明它們在同一個省里？a乘以b的逆在H中！
每個省之間行政等級都相同，對應著每個Ha與Hb元素個數相等。並且不同的省之間，自然是沒有交集的。
傍集不一定是一個群，事實上，只要試圖去分劃一個群，你得到的就不可能都是群（因為只有一個幺元）。忽然有一個天才的數學家想到，傍集沒必要在意它是不是群，只要傍集全體能構成一個群，它就一樣十分有研究價值，後來數學家們發現，這個問題等價於產生傍集的這個子群，它的左傍集等於右傍集。
左傍集和右傍集還能不相等嗎？
首先必需說明的一點是，運算是一個映射，這個運算是把什麼映射成什麼？他把（Ha,Hb)映射成含有ab的那個傍集。但是呢，Ha還能寫成Hc，Hd，只要c或d乘a的逆在H里都行，但是它的像就變成了Hcb,Hdb,它們與Hab是同一個集合嗎？這是必須說明的，說明了它才能說我們的定義是合理的。
下面是兩個商群的例子；
寫在後面的話：
- 群的定義其實多種多樣，但是對它的研究主要是一些技巧上的東西，思想本質上也屬於初等代數，雖然挺有意思，但這裡就不深究了，或許以後會做個專題。
- 雖然本文試圖對與群相關的多數概念做出解釋，但仍有一些概念(例如中心）沒有講情它的來龍去脈，而在下一節里，我們會看到一個群的新的引入方式，它會給我們一個全新的角度與一些嶄新的解釋。
- 其實換位子子群也是一個十分重要的內容，對換位子子群做商群的過程成為交換化，但是這就不是本文的重點，故暫時按住不表。
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