【量子場論】從Lorentz變換到旋量場

03-05

本文包含以下內容：

作用量原理
Lorentz變換
旋量場性質
Dirac方程與Majorana方程
中微子質量項

作用量原理

眾所周知，作用量原理可以說是貫穿物理學各個領域的的一條基本信念，它以簡潔的框架描述了物質的運動規律：

$delta S=0$ ;

其中 $S$ 稱為Hamilton作用量，

$S=int L(phi,partial_mu phi) dt =int d^4 x mathcal{L}(phi,partial_mu phi)$ ;

( $phi$ 稱為場量， $L$ 為Lagrangian， $mathcal{L}$ 為Lagrangian密度，默認單位制選取， $c=hbar=1$ )

作用量原理的一個等價表述即是所謂的Euler-Lagrange方程：

$partial_mu dfrac{partial mathcal{L} }{partial partial_muphi}-dfrac{partial mathcal{L}}{partial phi}=0$ ；

它給出了系統運動的信息。

物理學家的信念是，作用量 $S$ 必定是個Lorentz標量，即在Lorentz變換下不發生改變的量，這是由於作用量 $S$ 實際上正是粒子在運動中經過的世界線的長度：

$S=-mint ds$

由於 $ds^2=g_{mu u}dx^mu dx^ u=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ 實際上是個不變數，所以

$S$ 是Lorentz變換下不變的，相同的，由於體積元（積分測度） $d^4 x$ 在Lorentz變化下是不變的，這就要求了Lagrangian密度 $mathcal{L}$ 實際上也是Lorentz變換下不變的洛倫茲標量。

值得一提的是，所謂相對論，實際上卻是一門以不變數作為核心的物理思想，由於各個參考系下物理規律的不變，就導致了不同參考系下觀察者觀察到的差異。

物理學家相信，作用量 $S$ （或者Lagrangian密度 $mathcal{L}$ ）的對稱性揭示系統的某種特殊性質。

Lorentz變換

其實物理系本科的大多數人，儘管應該聽過Lorentz群的說法，但都對Lorentz變換的概念依舊停留在沿著 $x$ 軸的Lorentz變換上，這不得不說是令人遺憾的。

Lorentz 群 $mathcal{O}(1,3)$ 定義為Minkowski 空間中所有保證內積不變的變換組成的集合,即保證

$x^mu x_mu =(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2=Constant$

記Minkowski空間度規張量 $g_{mu u}=diag(1,-1,-1,-1)$ ,Lorentz變換為 $Lambda$ ，由保內積知：

$x^mu g_{mu u}x^ u o Lambda^{sigma}_mu x^mu g_{sigma ho} Lambda^{ ho}_ u x^ u =x^mu g_{mu u}x^ u$ ;

上述變換的矩陣形式為

$Lambda^T g Lambda = g$ ;

首先由度規張量的性質知道，其行列式 $det({g})=-1$ ,故

$det(Lambda)^2=1,det(Lambda)=pm 1;$

並且對於 $mu=0, u=0$ 的分量，有：

$Lambda^0_0=pm sqrt{1+sum_i (Lambda^0_i)^2}$ （變換前後時間可能存在號差）

因而我們能將Lorentz群的變換按 $det(g)$ 的符號和時間的符號分為四個大類：

正規正時（proper orthochronous）， $det(Lambda)=+1,Lambda^0_0 geq 1;$
正規非正時（proper non-orthochronous）， $det(Lambda)=+1,Lambda^0_0 leq -1;$
非正規正時（improper orthochronous）， $det(Lambda)=-1,Lambda^0_0 geq 1;$
非正規非正時（improper non-orthochronous）， $det(Lambda)=-1,Lambda^0_0 leq -1;$

但是實際上我們只需要其中一種就足以描述整個Lorentz群了，這是由於，正規正時正規非正時與正規非正時實際上可以用一次時間反演 $Lambda_T$ 來描述，正規正時與非正規正時則可以用一次宇稱反演 $Lambda_P$ 來描述，非正規非正時則是兩個的疊加。在數學上，我們認為Lorentz實際上是

$mathcal{O}(1,3)={mathcal{SO}(1,3)^{uparrow},Lambda_Tmathcal{SO}(1,3)^{uparrow},Lambda_Pmathcal{SO}(1,3)^{uparrow},Lambda_TLambda_Pmathcal{SO}(1,3)^{uparrow}}$

好了，描述清大致Lorentz群的性質，我們來具體的描寫Lorentz群：

首先，我們從無窮小的Lorentz變換引入：

$Lambda^mu_{ u}=delta^mu_{ u} +epsilon^mu_{ u}$ ;

由於保內積性，

$g_{ u ho} epsilon^{ ho}_{ mu} +g_{mu ho} epsilon^{ ho}_{ u} =0$ ;

即 $epsilon_{ u mu}+epsilon_{mu u}=0$ ,這說明了無窮小變換張量是一個反對稱的二階張量，其只有 $6$ 個獨立的成分，這種成分在Lie代數中被稱為生成元。

我們不妨在這裡停留一下以想清楚為什麼有6個獨立成分，

實際上，我們仔細思考下Lorentz變換所保持的性質：

$x^mu x_mu =(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2$ ;

這顯然有兩種簡單情況：

$(x^0)^2$ 不變， $(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2$ 之和不變但 $x^1,x^2,x^3$ 大小改變，這實際上就是對應一個三維旋轉，對應一組操作，稱為 $mathcal{SO}(3)$ 群，它同態於 $mathcal{SU}(2)$ 群；
控制空間 $x^{i},i=1,2,3$ 當中任意兩個部分不變，令剩下了那一個的平方與時間部分的平方之差不變，這實際上就是對我們平常說的關於 $x,y,z$ 方向的Lorentz變換，稱為Boost。

所以描述Lorentz變換需要六個生成元，其中三個對應Boost，其餘三個對應三維旋轉,我們直接給出這6個生成元的樣子：

$R_1=egin{pmatrix} 0&0&0&0\0&0&0&0\ 0&0&0&-1\ 0&0&1&0end{pmatrix}$ $R_2=egin{pmatrix} 0&0&0&0\0&0&0&1\ 0&0&0&0\ 0&-1&0&0end{pmatrix}$ $R_3=egin{pmatrix} 0&0&0&0\0&0&-1&0\ 0&1&0&0\ 0&0&0&0end{pmatrix};$

$B_1=egin{pmatrix} 0&1&0&0\1&0&0&0\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0end{pmatrix}$ $B_2=egin{pmatrix} 0&0&1&0\0&0&0&0\ 1&0&0&0\ 0&0&0&0end{pmatrix}$ $B_3=egin{pmatrix} 0&0&0&1\0&0&0&0\ 0&0&0&0\ 1&0&0&0end{pmatrix};$

利用其就可以構造出所有的Lorentz變換。

三維旋轉的性質我們在量子力學已然明了，軌道角動量算符的引入使得我們可以方便的描述旋轉：

$L_{mu u}=i(x_mu partial_ u-x_ upartial_mu)$ ；

事實上在 $mathcal{SU}(2)$ 的信念下，我們自然地將其擴充到

$M_{mu u}=i(x_mu partial_ u-x_ upartial_mu)+S_{mu u}$ ;

然後引入所謂角動量算符：

$J_i=dfrac{1}{2} epsilon_{ijk} M_{jk}$ ;

同時我們發現，如果將 $M_{mu u}$ 的第一個下標選為 $0$ ，則我們能以其描述Boost

$K_i=M_{0i}$ ，

然後很自然的將這個Hermitian運算元拼成所謂的Casimir算符

$N_i=dfrac{1}{2}(J_i+iK_i)$ ;

$N_i^dagger=dfrac{1}{2}(J_i-iK_i)$

我們會發現，儘管 $N_i eq N_i^{dagger}$ ，但是它們依然滿足Lie代數的對易關係：

$[N_i,N^dagger_i]=0,$

$[N_i,N_j]=iepsilon_{ijk}N_k,$

$[N_i^dagger,N_j^dagger]=iepsilon_{ijk}N_k^dagger.$

可以很簡單的驗證，這樣的Casimir算符具有性質：

$N_iN_i$ 的本徵值為 $n(n+1)$ , $N_i^dagger N_i^dagger$ 的本徵值為 $m(m+1)$ ， $m,n=0,dfrac{1}{2},dfrac{3}{2},dots$

$N_i,N_i^dagger$ 將 $mathcal{SU}(2)$ 代數分成兩份，一組稱為左手場、一組稱為右手場，描述了一個系統在Lorentz變換下的性質。

將它們按本徵值 $(n,m)$ 分類，就構造出各種場，一般常用的是：

$(0,0)$ 稱為標量場，在Lorentz變換下不變。
$(dfrac{1}{2},0)$ 稱為左手旋量場， $(0,dfrac{1}{2})$ 稱為右手旋量場，可以用來描述電子之類 $1/2$ 自旋粒子。
$(dfrac{1}{2},0) otimes (0,dfrac{1}{2})=(dfrac{1}{2},dfrac{1}{2})$ ，由於其在Lorentz變換下的性質就是四矢量的變換，稱為Maxwell場，可以描述光子等。