變分法&能量原理（中）

03-05

開篇說明：

不同的變分法方程，都是為了用試函數方法進行求解，而且最終都是通過求解線性方程組來求解係數，唯一不同的是得到方程組的方法。

本身帶變分符號的，可能通過變分係數為零確定試函數係數；

本身不帶變分符號的，給泛函取極值的，可能通過函數極值的必要條件來求解係數。

前一小結的總結：

以位移為基本未知量的時候（已經滿足位移的邊界條件），有三套方法：

（1）滿足用位移表示的平衡方程與位移表示的應力邊界條件：

$Gu_{i，jj} + （ lambda +G ） heta_{，i} +f_{i} = 0$

$G （u_{i，j}+u_{j，i}） n_{j} + lambda varepsilon_{kk}n_{i}=ar{f_{i}}$

（2）滿足位移變分方程（或者虛位移原理，最小勢能原理）：

$delta V_{varepsilon} = int_{V}^{} f_{i} delta u_{i} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{i}} delta u_{i} dS$

$int_{V}^{} sigma_{ij} deltavarepsilon_{ij} dV = int_{V}^{} f_{i} delta u_{i} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{i}} delta u_{i} dS$

$delta E=delta｛ int_{V}^{} frac{1}{2} sigma_{ij} varepsilon_{ij} dV -[ int_{V}^{} f_{i} u_{i} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{i}} u_{i} dS]｝=0$

（3）在位移滿足了應力邊界的條件下，滿足伽遼金變分方程：

$int_{V}^{} [(1)delta u+(2)delta v+(3)delta w] dV =0$

其中，（1）、（2）、（3）即平衡方程，其等價於平衡方程。

note：

可以證明，以上三種方法完全等價。

位移變分方程（或者虛位移原理，最小勢能原理）等價於平衡方程與應力邊界，伽遼金變分方程等價於平衡方程，用伽遼金變分方程時，位移必須已經滿足應力邊界。

方法一的解析方法為求解給定邊界條件的偏微分方程組；

方法二的解析方法為求解一個泛函的待定曲線；

方法三的解析方法為求解一個泛函的待定曲線；其位移滿足的條件升高了，相應的要求滿足的方程條件就降低了（滿足了應力邊界，方程中就只考慮平衡問題）。

一、伽遼金變分方程：

$delta V_{varepsilon} = int_{V}^{} delta v_{varepsilon} d V = int_{V}^{} frac{partial v_{varepsilon}}{partial varepsilon_{i} }delta varepsilon_{i} d V （i=1，2，3，4，5，6）$

上式即對應變能取變分，下一步，用卡氏定理與幾何方程帶入其中：

（以某一項為例，其餘項思路相同）

$delta V_{varepsilon} = int_{V}^{} sigma_{x} delta varepsilon_{x} d V$

$delta varepsilon_{x} =delta（frac{partial u}{partial x}）= frac{partial }{partial x}（delta u）$

$delta V_{varepsilon} = int_{V}^{} sigma_{x} frac{partial }{partial x}（delta u） d V$

由分部積分公式：

$frac{partial }{partial x}（sigma_{x} delta u）= sigma_{x} frac{partial }{partial x}（delta u） + delta u frac{partial }{partial x}（ sigma_{x} ）$

$delta V_{varepsilon} = int_{V}^{} sigma_{x} frac{partial }{partial x}（delta u） d V = int_{V}^{}frac{partial }{partial x}（sigma_{x} delta u）d V$

$- int_{V}^{} delta u frac{partial }{partial x}（ sigma_{x} ） d V$

由高斯公式：

$int_{V}^{} frac{partial }{partial x}（sigma_{x} delta u）d V = int_{S}^{} （ sigma_{x} delta u） dy dz = int_{S}^{} （ sigma_{x} delta u）l dS$

得到原式：

$delta V_{varepsilon} = int_{S}^{} （ sigma_{x} delta u）l dS - int_{V}^{} delta u frac{partial }{partial x}（ sigma_{x} ） d V$

如果將右側未考慮的式子補全，並將左側帶入位移變分方程：

$delta V_{varepsilon} = int_{V}^{} f_{i} delta u_{i} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{i}} delta u_{i} dS$

得到：

$int_{V}^{} [(1)delta u+(2)delta v+(3)delta w] dV - int_{S_{sigma}}^{} [(4)delta u+(5)delta v+(6) delta w] dS =0$

其中（1）、（2）、（3）是平衡方程的三個方程；

（4）、（5）、（6）是應力邊界條件。

所以，如果位移最初已經滿足了位移與應力的邊界條件，則原方程為：

$int_{V}^{} [(1)delta u+(2)delta v+(3)delta w] dV =0$

由於虛位移的任意性，實際上，就等價於平衡方程。

二、等價性證明：

分部積分不僅證明了等價性，而且推導出了伽遼金變分方程。

$int_{V}^{} [(1)delta u+(2)delta v+(3)delta w] dV - int_{S_{sigma}}^{} [(4)delta u+(5)delta v+(6) delta w] dS =0$

其實這個式子，在上一步推導出來時還沒有略去後一部分的時候，已經證明了變分方法和偏微分方程邊值問題的等價性，由於虛位移的任意性，必須要求係數等於零。

而六個係數，就是位移表示的平衡方程和位移表示的應力邊界條件。

當位移不僅滿足位移邊界條件，還滿足應力邊界條件時，得到的就是伽遼金變分方程。

三、位移變分法（里茨法）：

首先，講一下這裡的思路，其實已經是第n次講了，再捋一捋：

PDE的邊值問題→求泛函的極值曲線（或其他特徵條件）→試函數的待定係數

其中第一個箭頭，使用的是變分法；

第二個箭頭，使用的是試函數近似解法；

最終解決待定係數是通過線性方程組求解來實現的。

現在，通過變分法，我們已經得到了求解極值曲線的泛函（或其他滿足一定約束條件的方程），那麼我們將用試函數方法，將泛函的待求曲線，轉化成函數的最值問題（等其他線性方程組）。

試函數必須滿足位移邊界條件，取如下試函數：

$u=u_{0}+sum_{m}^{}{A_{m}u_{m}}$

$v=v_{0}+sum_{m}^{}{B_{m} v_{m} }$

$w=w_{0}+sum_{m}^{}{C_{m}w_{m}}$

注意：

（1） $u_{0}、v_{0}、w_{0}$ 滿足位移邊界的位移值；

（2） $u_{m}、v_{m}、w_{m}$ 在邊界的取值為0；

（3）這樣，無論係數的取值， $u、v、w$ 一定可以作為滿足位移邊界的試函數；

（4）求解變分的時候，只變分其係數，不變分其函數。

$delta u=sum_{m}^{}{ u_{m} delta A_{m} }$

$delta v=sum_{m}^{}{v_{m}delta B_{m}}$

$delta w=sum_{m}^{}{w_{m} delta C_{m}}$

現在，將位移的變分帶入位移變分方程：

$delta V_{varepsilon} = int_{V}^{} f_{i} delta u_{i} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{i}} delta u_{i} dS$

左側取變分得：

$delta V_{varepsilon} = sum_{m}^{} {（frac{partial V_{varepsilon}}{partial A_{m}} delta A_{m}+ frac{partial V_{varepsilon}}{partial B_{m}} delta B_{m} +frac{partial V_{varepsilon}}{partial C_{m}}delta C_{m}）}$

右側帶入位移變分：

$delta V_{varepsilon} = sum_{m}^{}{} int_{V}^{} f_{x} u_{m} delta A_{m} +f_{y} v_{m} delta B_{m} +f_{z} w_{m} delta C_{m} dV$

$+ sum_{m}^{}{}int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{x}} u_{m} delta A_{m} +ar{f_{y}} v_{m} delta B_{m} +ar{f_{z}} w_{m} delta C_{m}dS$

左側與右側聯立得：

$sum_{m}^{}{}（frac{partial V_{varepsilon}}{partial A_{m}} - int_{V}^{} f_{x} u_{m} dV - int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{x}} u_{m} dS）delta A_{m}$

$+sum_{m}^{}{}（frac{partial V_{varepsilon}}{partial B_{m}} - int_{V}^{} f_{y} v_{m} dV - int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{y}} v_{m} dS）delta B_{m}$

$+sum_{m}^{}{}（frac{partial V_{varepsilon}}{partial C_{m}} - int_{V}^{} f_{z} w_{m} dV - int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{z}} w_{m} dS）delta C_{m} =0$

這裡，又由於變分具有任意性，故係數為零：

$frac{partial V_{varepsilon}}{partial A_{m}} = int_{V}^{} f_{x} u_{m} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{x}} u_{m} dS$

$frac{partial V_{varepsilon}}{partial B_{m}} = int_{V}^{} f_{y} v_{m} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{y}} v_{m} dS$

$frac{partial V_{varepsilon}}{partial C_{m}} = int_{V}^{} f_{z} w_{m} dV + int_{S_{sigma}}^{} ar{f_{z}} w_{m} dS$

note：應變能是應變的二次函數，實際上，也是位移的二次函數，也就是係數的二次函數，而求一次導數，就變成了關於係數的線性組合。

所以，上述式子是一個方程個數為3m個的非齊次線性方程組。

通過求解非齊次線性方程組，得到係數，從而得到位移函數。

四、伽遼金法：

伽遼金法選取的試函數是滿足應力邊界與位移邊界的，將位移變分帶入伽遼金變分方程，然後通過變分的任意性，迫使其係數得零，將整個表達式表達成位移的函數，通過得零來計算出各個係數，從而獲得位移試函數。

總而言之，如果用位移變分方程或者伽遼金變分方程來求解，試函數確定係數的方法是由於變分的任意性，迫使變分前面的係數得零。

若用最小勢能原理，取試函數得過程中，是將泛函的極值轉化為函數的極值進行求解。