變分法&能量原理（上）

本篇也需要用到一些張量內容和變分內容，給兩篇我之前的文章參考。

QuYln：解放雙手——愛因斯坦的張量表示

QuYln：彈性力學基礎（含張量與變分法）

一、應變能：

這是張量（分量）記法，但是一般書用的不是張量應變，而是工程應變，修改一下：

因為工程切應變是張量切應變的二倍。

上式經過推導，得：

接下來推導卡斯提安諾定理：

以此類推，應變能密度對於應變的導數，等於應力，其實就是材料力學裡的卡氏定理。

推導的過程一定要注意這個步驟：

因為：

另外，我們要得到一個結論，結構整體的應變能，可以由位移場決定：

在上式中，只需要用幾何關係，將應變代換，即可得到位移表示的應變能。

二、應變余能：

將張量的表達展開，如下：

同樣的，繼續推導卡斯提安諾定理，得到：

通過應變余能對應力求導數，可以得到應變，這其實也是卡氏定理的另一種形式。

三、位移變分方程，虛位移原理與最小勢能原理：

先總體說一下我的理解，位移變分方程，虛位移原理，最小勢能原理，原方程加邊界條件，四者是完全等價的（可以通過變分法，把PDE邊值問題轉化為泛函問題）。

位移變分方程和虛位移原理是一種基於能量守恆的變體。

位移變分方程沒有把應變能的變分具體化，而虛位移原理則具體化了應變能的變分。

最小勢能原理實則表達了把位移變分方程或者虛位移的變分符號整體提出之後，所表達成的某個泛函的一階變分為零，這個泛函就是總體的勢能。

（1）那麼首先介紹位移變分原理：

由於這裡，位移邊界的位移是給定的，故位移邊界上位移的變分（虛位移）為0，故外力的虛功不計算位移邊界上的部分。

（2）接下來，介紹虛位移原理：

這個積分與變分符號可以調換順序，在前文證明過。

（六項求和）

應變能密度的變分，其實類似於全微分，上式是需要求和的。

此項的推導是基於卡氏定理，物理意義則是應力在虛應變上做的功。

將上表達式帶入位移變分方程，得到虛位移原理：

物理意義就是，虛位移上外力做的虛功，等於虛應變上，應力做的虛功，整體的角度，就是能量守恆的一種體現。

（3）現在，介紹最小勢能原理：

首先，給出一個錯誤的表達：

這裡的變分符號，是不能隨便提出來的，這個錯誤原因是：

應力並不是常數，是不可以隨便和變分號交換的。

那麼，基於位移變分方程開始推導：

這裡的變分符號不僅和積分符號換序，又因為外力是常數，所以可以和變分符號換序。

這一項稱之為外力勢能，定義彈性體未變形時的狀態為零勢能狀態。

規定：從當前狀態到零勢能狀態所做的功稱為勢能。

由於此處的位移表達式為變形位移，故「恢複位移」需要帶負號。

那麼定義彈性系統的總能量為E，則有：

並且，E是位移的泛函，在平衡狀態的時候，有：

可以證明：

即，得到了最小勢能原理。

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