經典力學[I]：牛頓力學框架

03-05

力學是研究宏觀物體運動規律的學科，基於力學規律可以預測某一初始狀態的物體的運動。

本文是對其中最簡單的牛頓力學原理進行回顧，適合認識微積分和矢量符號與意義的學生閱讀。儘管這是講究實證的科學，但我們仍常試圖以更少的實驗事實得到各重要規律，以此了解規律中有什麼是我們可以在理論上直接得到的推論、什麼是能與實驗事實相容的假設，以期在理論需要改進時能從更清晰的角度入手。由於略去大量解說和舉例，讀者最好已經了解普物力學的某些內容及數學準備。

本文約5000字，15個等號。

1. 運動的描述

運動，是指物體位置隨時間的變化。要精確描述運動，需要藉助參考系、簡化模型、空間解析幾何的概念。

由於物體的位置總是相對的，測量和描述都需要選取參照物、或者說參考系[Reference Frame]。同時，我們還在參考繫上固連一個坐標系[Coordinate System]，將物體所在的真實空間看作數學上的空間，如三維歐氏空間 $R^3$ 。

粒子、或者說質點[Particle]，是物理的簡化模型。它代表一個幾何形狀、尺寸可以忽略物體，並以某種方式繼承這個物質的屬性如質量、電量等。

數學上，質點是一個沒有幾何形狀與尺寸的點，從而其位置可以在坐標系下用一個矢量描述，稱為位置矢量，簡稱位矢[Position Vector]。要考慮運動，則把它看作關於時間的函數，那麼位矢對時間的導數就是速度[Velocity] 。

· 力學物理量的測量與量綱[Dimension]

時間間隔和空間間隔這樣的物理量是直接測量得到的，這種測量必然具有相對性，也就是說必須選取一個基準，才能得到一個純數值的量來衡量被測量的物理量相對基準的大小。這個基準稱為單位[Unit]，物理量往往同時具有數值部分和單位部分。

物理量之間有規律性的聯繫，從而只需要選取部分物理量的單位即可導出其他物理量的單位，這些物理量/單位分別稱為基本量/單位和導出量/單位，一個物理量的單位用基本單位的表示關係稱為量綱[Dimension]，量綱本身可以看作一個代數變數，它的「取值」是就是單位。

物理的數值之於量綱，正如坐標之於基底。只不過物理規律與度量單位選取無關的事實表明，量綱都可以用基本量綱的齊次函數（對各基本量綱的冪求積）表示****，從而線性無關的「基底」是基本量綱的對數。作為一個推論，這種無關性和任意性要求 $e^{t/t_0}=sum_{n=0}^{infty}frac{(t/t_0)^n}{n!}$ 等等不能用基本量的齊次函數表示的物理量必須擁有無量綱的自變數 $t/t_0$ 。

2. 力學規律

描述運動是運動學[Kinematics]的範疇，這個描述的核心是關於時間的矢量函數。然而物體的真實運動不是任意的，這個函數必須遵循特定力學規律。

在特定時空性質***和相互作用[Interaction]下，力學規律會有所不同，所以對力學規律的表述必須要兼容它們——如果它們不存在，運動將是單調樸素的；如果不考慮它們，物理規律就不具有普遍性。

經驗表明：物體的位置和速度是完備的力學狀態描述，也就是說位置和速度唯一確定它將來的運動，以及物體間的相互作用只可能與位置和速度有關且只改變位置或速度，這也稱為決定性原理。

要簡化對時空性質的研究，利用對稱性的思想是必要的；要了解真實世界相互作用對物體運動的影響，則還必須通過實驗確定各種相互作用的性質規律。

· 對稱性[Symmetry]

要簡化對時空性質的研究，利用對稱性的思想是必要的。

如果某事物在經過一個操作、或者說變換[Transformation]後不變，即它在此操作下具有不變性，那麼就稱其對於這一操作具有對稱性。

關於時空的變換可以用坐標變換表示， $x ightarrow x+Δx$ 即（此方向上的）空間平移變換， $x ightarrow -x$ 即空間鏡像反演變換，此外類似地還有時間的平移/反演變換、空間旋轉/伸縮變換等等。

科學存在的必要前提是，事實間的因果聯繫具有可重複性和預見性，這就要求等價的原因必然導致等價的結果。應用在對稱性上，就有了對稱性原理：對稱的原因必然導致對稱的結果。

這種思想允許我們在對物質運動的規律尚不具備完全的了解時，獲得關於物理規律的信息。力學中，它將給出規律的框架。

2.1 慣性[Inertial]參考系與力學相對性[Relativity]原理

參考系的選取是任意的，但顯然參考系選取的不同會引起所觀測到運動的不同，任意地選用參考系往往會造成困難。

更簡潔的力學規律建立在一類特殊的參考繫上，稱為慣性參考系，簡稱慣性系。在這個參考系看來時間空間是均勻而各向同性的，具有平移、旋轉和鏡像反演等變換不變性。

這使得質點的力學狀態在不同位置、時間、指向時是一樣的：自由（不參與相互作用的）質點的力學狀態不變，物體總是靜止或做勻速直線運動。這個可用實驗檢驗的標準就作為慣性參考系的定義了，也稱為牛頓第一定律或者慣性定律。

除了規律的簡潔以外，為了使其具有更強的普適性，我們要求*：相對任何慣性系，應使力學規律相同。這個要求稱為伽利略相對性原理或者力學相對性原理。從現在開始，我們都在慣性系下推導力學規律。

容易注意到，在不同慣性系看來，一個自由質點的位矢的二階導數（稱為加速度）都應該為零。這要求相對慣性系K以常速度 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech{V}$ 運動的質點相對另一慣性系K的速度不隨時間變化，則坐標變換對應的速度變換 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} v=f(vech V,t)$ 滿足 $frac{dv}{dt}=frac{df(overset{ ightharpoonup}{V},t)}{dt}frac{dt}{dt}=0$ 。如果兩個參考系測量的時間間隔是相同的（稱為絕對時間假設**），這個方程確定的坐標變換稱為伽利略變換，帶有的一個積分常數意味著坐標系原點的選取不影響規律的普遍性。

2.2 相互作用中的不變數：動量[Momentum]

考慮兩個相同質點，選取慣性參考系使得質點相對此參考系的位矢和速度都等大反向。現在考慮兩者相互作用，其力學狀態將被改變。無窮小時間間隔內相互作用造成的位置的改變可以看作指定速度的值，所以現在只考慮相互作用造成的速度的改變。由於背景空間、兩個相同質點組成的系統及其力學狀態都是關於坐標原點對稱的，兩者速度的變化量也必然具有此對稱性，從而等大反向： $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} dvech{v_1}+dvech{v_2}=0$ 。

考慮兩個某種性質上不同的質點，上述對稱性不再成立。我們假設這個規律是可以更普遍的，從而這兩個變化量仍存在一個關係 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} f(m_1,dvech{v_1})=g(m_2,dvech{v_2})$ ， $m_1$ 和 $m_2$ 對應把兩個質點區別開來的某種函數參量，對稱的情形作為這個關係的特例。如果 $m_1$ 和 $m_2$ 相交換，規律應不變，從而映射 $f(cdot)=g(cdot)$ ；量綱上要求物理量的函數必須齊次，從而 $f$ 必須是加速度的類冪函數，且這個參量不能是其指數，那麼只有形式 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} m_1dvech{v_1}+m_1dvech{v_2}=0$ 成立。可見在參與相互作用的物體中， $m$ 相對小的物體速度改變相對大，是物體慣性[Inertia]的衡量，稱為慣性質量，簡稱質量[Mass]。這個說法來源於過去實驗上確認的慣性與物質的量的多少的聯繫，這是質量可加性的反映：兩個質點合併為一個質點，其質量等於原質量之和，是質量守恆的一個保證。

如果質量不隨時間變化，那麼 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} frac{d}{dt}vech {p_1}+frac{d}{dt}vech {p_2}=0$ ，即參與相互作用的物體的動量 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech {p}=mvech v$ 是不隨時間變化的，這個規律稱為動量守恆[Conservation]定律。在相互作用下，動量只是在物體之間傳遞而總量不變。

2.3 力[Force]

對於參與相互作用的質點，其動量的變化量源於相互作用，故定義力 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} F=frac{d}{dt}vech {p}$ 衡量相互作用的作用效果，即牛頓第二定律（牛頓方程）。

動量守恆定律決定，參與相互作用所受的力之和為零，也就是說參與兩體相互作用的物體所受的力等大反向。如果假設相互作用與速度的方向無關，就相互作用而言兩個質點還具有關於它們連線的對稱性，從而動量的變化量必然沿連線。在這樣的相互作用中，作用力與反作用力等大反向沿連線的結論就是牛頓第三定律。

假設相互作用是相互獨立的，那麼其他物體對某兩質點的力將不影響它們相互作用的對稱性，上述結論仍成立，從而力具有可加性。

2.4 可逆運動中的不變數：能量[Energy]

牛頓第二定律表明，物體運動的加速度由力決定。它在任何時間都成立，是一個微分方程。只要通過經驗規律或其他理論給出力與位置速度的依賴關係，它就將確定帶有積分常數的位矢-時間函數 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech r(t)$ ，這就是一個好的力學規律。值得一提的是，動量等守恆量（的分量）就是積分常數中的一部分，每個守恆量都對應某種連續對稱性，只不過這些對稱性有直觀與否之分罷了。

如果相互作用在時間反演變換 $t ightarrow-t$ 下具有不變性，那麼牛頓方程同樣具有這種不變性，那麼它所允許的過程將是可逆的，這個對稱性對應一個守恆量。

類似動量守恆的推理過程，猜想：無相互作用時，單質點的力學量 $T$ 守恆。根本上，力學量 $T$ 只與力學狀態 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech r,vech v$ 與質點的力學屬性 $m$ 有關。沒有相互作用是相互作用時間反演不變的一個特例，這個情況下 $T$ 守恆要求 $T$ 必然與 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech r$ 無關。若時間反演， $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech v$ 將反演， $T$ 守恆要求 $T$ 與 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech v$ 的符號無關，意味著形式 $T=T(v^2)$ 是合理的。

時間演化 $dt$ 引起的力學量變化 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} dT(v^2)=2(partial T/partial v^2)vech vcdot vech adt$ ，有相互作用時加速度 $a=F/m$ 。基於絕對時間假設的經典力學認為相互作用是瞬間擴散的**： $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech F$ 只與質點位置有關，則一個質點的位置改變會立刻影響其他質點，否則，由於在不同參考系看來速度不同，相互作用及牛頓方程不滿足力學相對性原理的要求（除非時空也隨之改變**），這種力稱為保守力[Conservative Force]。那麼當 $T=m v^2/2$ 時， $dT$ 可以直接積分為 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} T=int vech F cdot dvech r$ ，從而有守恆量機械能[Mechanical Energy] $E=T-W$ ，其中 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} W=int vech F cdot dvech r$ 稱為力 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech F$ 所做的功[Work]，這個積分的負值定義為勢能[Potential Energy]， $T$ 稱為動能[Kinetic Energy]。

容易驗證，齊次函數 $T(v^2)$ 形式的不同並不給出不同的守恆量。此外，力對時間積分給出的任意常數意味著要確定勢能的值必須人為地選取勢能零點。

2.5 非孤立力學系統及多體力學系統

我們常從選取一部分物體作為研究對象，稱為系統。相互作用不總是系統內部的，系統內部質點提供的力稱為內力，外部環境提供的力稱為外力。這種情況下系統不是孤立的，外力往往會使得系統總動量不守恆，但系統總動量的變化量仍等於合外力對時間的積分（稱為合外力的衝量[Impulse]），這就是動量定理，顯然合外力為零時動量又守恆了。對於機械能也有類似結論：總能量變化量等於合外力做功，稱為動能定理。

許多時候，物體的尺寸形狀不能忽略，質點模型不再適用。最直接的分析方法是把它看作多個質點組成的系統，稱為質點組或質點系。對於內部質點間沒有相互運動的物體（稱為剛體），其運動可以簡化為繞某點的轉動和該點的平動，而從質點系出發可以推導出剛體定點轉動所服從的規律。對於內部各質點的運動更加自由的彈性體和流體，則普遍採用向量場的概念描述壓強、流速等物理量在空間上的分布，同樣也是從質點系動力學出發得到適用於這個模型的推論。

2.6 非慣性參考系

至此，慣性系下力學規律的框架已經給出，一定意義上只要通過實驗確定某類相互作用的力對力學狀態的依賴關係（前提是我們找到的這個依賴關係是比較普遍而非偶然的），即可預測力學狀態已知的系統的運動。許多時候，非慣性系的時空性質並不很特殊，從慣性系出發即可推理出某類特定慣性系下力學規律的形式。

結合伽利略坐標變換，容易得出：

相對慣性系以加速度 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech a$ 運動的參考系下，質點相當於受到 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} -mvech a$ 的慣性力。相對慣性系以角速度 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} vech omega$ 轉動的參考系下，質點受到 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} -mvechomega imes(vechomega imesvech r)$ 的慣性離心力[Inertial Centrifugal Force]和 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} 2mvech v imesvechomega$ 的科里奧利力[Coriolis Force]。其中 $ewcommand{vech}{overset{ ightharpoonup}} m,vech r,vech v$ 皆對質點而言。

實際上我們通常選取的實驗室（地面）參考系也就是自然參考系並不嚴格是慣性系，地球自轉、繞日公轉乃至宇宙的萬有引力都一定程度上破壞了自然參考系下的各種對稱性，儘管這通常可以忽略。

3. 所不能預測的

牛頓方程是微分方程，其解的性質可能顯著敏感於初始條件——相近的初態可能導致性質迥異的運動，這個現象稱為混沌[Chaos]。由於測量和控制的精度總是有限，這將使得預測失敗。非線性動力學中建立了一套微分方程的定性理論來試圖從方程中獲得更多信息。

由於粒子數目極多的宏觀系統的複雜與隨機，力學規律不便直接應用，並且某些宏觀性質與微觀性質沒有什麼相似性，只是因為中心極限定理保證：當隨機微觀量（如微觀粒子的速率）服從任意相同分布且微觀量的數目趨於無窮大時，它們的統計平均值趨於服從正態分布，這個正態分布的方差為 $sigma^2/N$ ，其中 $N$ 為均值的樣本容量、 $sigma^2$ 為隨機微觀量分布的方差。宏觀物體包含非常多的微觀粒子（由阿伏伽德羅常數可見），使得平均值服從一個方差非常小的正態分布。好比拋出一大箱硬幣，正反面分別記為 $pm1$ ，通常都能發現平均值在零附近。統計物理學正是基於這一原理和其他本質相同的原理，建立了基於熵、配分函數等概念的理論來從系統性質中獲得各種統計平均值——也正是實驗上的易測量的宏觀物理量。

此外這套力學理論存在的局限性使它錯過了許多事實，但是它已是空前成功的。

● 注釋

*對兼容電磁現象的要求，稱為狹義相對性原理。對兼容非慣性系與萬有引力現象的要求，稱為廣義相對性原理。

**如果不使用絕對時間假設，對坐標變換的約束條件是欠定的。狹義相對性原理要求理論兼容電磁近距作用，則認為不同慣性參考系下的電磁相互作用傳遞速度（真空光速）相同，從而坐標變換的非唯一性得以消除，解出洛侖茲坐標變換。相應地，相互作用與速度無關的假設也不能使用，但不基於絕對時間假設的能量守恆式並不唯一對應某一個非保守相互作用的勢能，為了消除這種非唯一性必須引入規範。由於不同參考系看來的時空不同，與速度有關的電磁等相互作用下的運動將仍可逆。此外時間的不再絕對使得時空顯得平權，在相對時空觀下描述運動使四維時空矢量和本徵時的使用成為必要了。

***這裡的時空性質是說對運動的背景外源影響因素，除去了已考慮的相互作用和質點本身性質。如果把相互作用的勢看作時空性質的一部分，則「時空」的意義有所改變，各守恆律對應的對稱性也從分立對稱性變為連續對稱性，也就是說守恆量將是相對無窮小變換而言的。引入場的概念以後，這個處理方法則顯得十分自然。

****詳細證明可參考量綱分析教材或者

為什麼物理規則幾乎都是乘法？www.zhihu.com

總結

本文重新構造了一遍牛頓力學，同時指出了它與相對論性力學間的分岔處。可以看出，基於因果、規律在普遍性上的要求、測量相對性對量綱的要求、簡單的實驗事實、簡單的數學、合理的假設、也就是——對稱性原理、力學相對性原理、量綱分析、決定性原理、微積分運算、絕對時間假設，即可導出力學規律與守恆律。值得注意的是，力學規律在後來被證明是局限的，但基於時空性質導出的守恆定律卻十分堅固。

說起來，物理理論總是要尋找一個普遍的、在各種過程中都不變的規律或量，來幫助我們預測物理過程。力在某些情況下保持不變（如某物體在地球表面附近所受的重力），或者說一種力與力學狀態的依賴關係是不變的，結合這個依賴關係蘊含的對稱性，它實質上就有了另一個形式：守恆律，守恆量可以說是物理學的重中之重。

這篇文章改天重寫。