IV.3|一致可積與積分換序
03-04
時隔多年終於又更新專欄了,連拜年祭單品都出來了(捂臉)
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定義 設 是一列定義在可測集 上的實可測函數,若對於給定的 ,存在一個非負可測函數 使得 對於所有的 都成立,則稱函數列 是一致可積的。
注 這個概念及之後的推理參考了程士宏《高等概率論》的一些內容
命題1 一列定義在可測集 上的實可積函數 是一致可積的當且僅當
- ;
- 對於給定的 ,存在 以及非負可積函數 使得對任意滿足 的可測集 都有
證明 首先假定 一致可積,那麼給定 ,由 就可以得到1.成立。對於2.,取 , ,則對於任意滿足 的可測集 都有 ,從而2成立。
反之,假定 滿足所給的兩個條件,那麼取定 ,存在 和 非負可積,令 ,取 ,則有 ,因此取 ,就有 ,因此 是一致可積的。
定理 給定一個在可測集 上幾乎處處收斂於 的可積實函數序列 ,下列兩個命題等價:
- 在 上一致可積;
證明 :給定 ,得到非負可積函數 ,記 ,那麼在 上可以應用控制收斂定理,得到 ,對於 ,由一致可積性,有 (Fatou引理),因此讓 就得到 。
任給 ,存在 使得對於任給的 有 ,因此 ,從而一致可積的等價命題的第一條成立。
取 , ,則對於所有滿足 的可測集 ,有 對所有 成立,因此一致可積等價命題的第二條成立,因此 在 上一致可積。
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