IV.3|一致可積與積分換序

03-04

時隔多年終於又更新專欄了，連拜年祭單品都出來了（捂臉）

在正文前先賣個安利：

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定義設 ${f_k }$ 是一列定義在可測集 $E$ 上的實可測函數，若對於給定的 $varepsilon>0$ ，存在一個非負可測函數 $g(x)$ 使得 $int_{{xin E:vert f_k (x)vertgeq g(x)}}vert f_k (x)vert mathrm{d} x<varepsilon$ 對於所有的 $f_k$ 都成立，則稱函數列 ${f_k }$ 是一致可積的。

注這個概念及之後的推理參考了程士宏《高等概率論》的一些內容

命題1 一列定義在可測集 $E$ 上的實可積函數 ${f_k }$ 是一致可積的當且僅當

$sup_{kgeq 1}{int_E vert f_k vert mathrm{d} x}<infty$ ;
對於給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $delta >0$ 以及非負可積函數 $h(x)$ 使得對任意滿足 $int_e h(x) mathrm{d} x<delta$ 的可測集 $e$ 都有 $int_e vert f_k vert mathrm{d} xleqvarepsilon$

證明首先假定 ${f_k }$ 一致可積，那麼給定 $varepsilon >0$ ，由 $int_E vert f_k vert mathrm{d} xleqint_E g(x) mathrm{d} x+frac{varepsilon }{2}$ 就可以得到1.成立。對於2.，取 $h(x)=g(x)$ ， $delta =frac{varepsilon }{2}$ ，則對於任意滿足 $int_e g(x) mathrm{d} x<delta$ 的可測集 $e$ 都有 $int_e vert f_k (x)vert mathrm{d} xleqfrac{varepsilon }{2} +frac{varepsilon }{2} =varepsilon$ ，從而2成立。

反之，假定 ${f_k }$ 滿足所給的兩個條件，那麼取定 $varepsilon >0$ ，存在 $delta >0$ 和 $h(x)$ 非負可積，令 $lambda_0 =sup_{kgeq 1}{frac{int_E vert f_k vert mathrm{d} x}{delta }}<infty$ ，取 $lambda >lambda_0$ ，則有 $int_{{xin E:vert f_k (x)vertgeqlambda h(x)} } h(x) mathrm{d} xleqfrac{int_E vert f_k (x)vert mathrm{d} x}{lambda } <delta$ ，因此取 $g(x)=lambda h(x)$ ，就有 $int_{{xin E:vert f_k (x)vertgeq g(x)} }vert f_k (x)vert mathrm{d} xleqvarepsilon$ ，因此 ${f_k }$ 是一致可積的。

定理給定一個在可測集 $E$ 上幾乎處處收斂於 $f(x)$ 的可積實函數序列 ${f_k }$ ，下列兩個命題等價：

${f_k }$ 在 $E$ 上一致可積；
$lim_{k ightarrowinfty }int_Evert f_k -fvert mathrm{d} x=0$

證明 $1Rightarrow 2$ :給定 $varepsilon >0$ ，得到非負可積函數 $g(x)$ ，記 $A={xin E:vert f(x)vertleq g(x)}$ ，那麼在 $A$ 上可以應用控制收斂定理，得到 $lim_{k ightarrowinfty }int_A vert f_k -fvert mathrm{d} x=0$ ，對於 $Esetminus A$ ，由一致可積性，有 $int_{Esetminus A} vert f_k -fvert mathrm{d} xleqint_{Esetminus A} vert f_k vert mathrm{d} x+int_{Esetminus A} vert fvert mathrm{d} x <2varepsilon$ （Fatou引理），因此讓 $varepsilon ightarrow 0$ 就得到 $limint_Evert f_k -fvert mathrm{d} x=0$ 。

$2Rightarrow 1:$ 任給 $varepsilon >0$ ，存在 $K>0$ 使得對於任給的 $k>K$ 有 $int_E vert f_k -fvert mathrm{d} x<varepsilon$ ，因此 $int_E vert f_k vert mathrm{d} x<int_E vert fvert mathrm{d} x+varepsilon$ ，從而一致可積的等價命題的第一條成立。

取 $h(x)=max{vert f(x)vert ,sup_{kleq K}vert f_k (x)vert}$ ， $delta =varepsilon$ ，則對於所有滿足 $int_e h(x) mathrm{d} x$ 的可測集 $e$ ，有 $int_e vert f_k vert mathrm{d} x<2varepsilon$ 對所有 $k$ 成立，因此一致可積等價命題的第二條成立，因此 ${f_k }$ 在 $E$ 上一致可積。

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