不能證明也無法否定的「連續統假說」——集合的勢（三）

之前

從一道概率題到「一一對應」——集合的勢（一）

Hilbert旅館的故事——集合的勢（二）

兩篇文章介紹了「集合的勢」，而本篇文章主要回答：

1 自然數（整數、有理數）和實數哪個多？

2 什麼樣的集合包含的元素「最多」？

這兩個遺留問題。

一、自然數集 和閉區間 不等勢。

採用反證法。假設存在一個雙射函數 ，則 中的元素必與 中的元素一一對應，那麼 中的元素必可排列成：

第0個實數、第1個實數、第2個實數、第3個實數、第4個實數、第5個實數……

由於 是雙射，因此任一 中的實數均應出現在上表中的某一行。

下面按照對角線構造一個新的小數 ，使得 且 （這是為了避免出現0.79999999....等類似情況）。

那麼顯然有 ，而 又不在上表中——因為它與上表中任一項都至少存在一位不同。因此 不可能是滿射，更不可能是雙射。

——這就是著名的「對角線法則」。

有，

康托定理（1890）——自然數集 和實數集 不等勢。

於是我們熟知的數的集合：

• 有限集合；
• 自然數、整數、有理數；
• 實數、複數。

就分成了三大類了（事實上第一類又分成很多類）。

定義——與自然數集合或其子集等勢的集合稱為可數（countable）集合或可列集合，自然數集合的基數記為 (讀作阿列夫零)；否則稱作不可數（uncountable）集合或不可列集合。換言之，設 是集合，若 ，則稱 為可數集或可列集。

全體實數構成的集合 是不可數的，其基數稱作連續統（continuum）。

註：有時亦稱實數集合（或與之等勢的集合）為連續統。

例如：

(1) 集合 ， 都是可數集；而開區間 、閉區間 都是不可數集合。

(2) 在「圓柱兒和TA的浴巾」中介紹的代數數雖然包含很多無理數（例如著名的 ），但是代數數全體是可數的。

(3) 而同在「圓柱兒和TA的浴巾」中介紹的超越數全體是不可數的。

二、什麼樣的集合包含的元素「最多」？也就是說，是否存在基數最大的集合？

康托證明了如下定理，回答了這一問題。

康托定理(1890)——設 為一個集合， 為A的冪集，則有 。

證明. 對任一函數 , 構造集合 。顯然有 ，即 。

對任意 ，若 則 ，因此 。這說明沒有哪個 它的像是 ，即 不是滿射，當然也不是雙射。因此不存在雙射函數 。

此定理說明了：不存在最大基數。任意一個集合，總存在元素數「嚴格多於」它的另一個集合。

對於整數集合，其冪集的基數有何特點呢？以下是一個讓人很親切的結果：

定理—— 。

於是複數一定比整數嚴格「個數多」。

那麼很自然的問題就是——複數和整數之間還有沒有，元素個數嚴格比整數多、比複數少的集合呢？

1878年，康托猜測在不存在一個集合，其基數在自然數集的基數和連續統之間，即不存在集合 使得 。這就是著名的連續統假設（continuum hypothesis）。

在1900年第二屆國際數學家大會上，大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）把康托爾的連續統假設列入20世紀有待解決的23個重要數學問題之首，因此它又被稱為希爾伯特第一問題。

1938年哥德爾（Kurt G?del，1906-1978）證明了連續統假設與目前使用的公理化集合論體系（Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice，ZFC）不矛盾，即不能在ZFC中被證偽。

1963年科恩（Paul Joseph Cohen，1934-2007）證明連續假設和ZFC是彼此獨立的，即連續統假設不能在ZFC公理系統內證明其正確與否。