從一道概率題到「一一對應」——集合的勢（一）
這是我的一位美女學生問我的一個問題（美女！不是「胖三金」）：
我提出了問題一道幾何概率題？感謝Zhangyi介紹的視頻以及keghost給出的回答！
對於這個問題，我自己有一個想法，就是：
- 考慮包含圓心的三角形
；
- 分別記
的對徑點為
；
- 於是又形成了3個三角形
；
- 而3個三角形
- 因此每1個包含圓心的圓內接三角形都伴隨著3個不包含圓心的圓內接三角形，再如下圖所示：
- 另一方面，給出一個不包含圓心的圓內接三角形
，就可以構造出包含圓心的圓內接三角形
- 因此可以將圓內接三角形進行劃分（就是分成「不重不漏」的若干組），每個劃分塊（就是一組）包含1個包含圓心的圓內接三角形和它伴隨的3個不包含圓心的圓內接三角形。之後每次隨機選擇的圓內接三角形一定在某一個劃分塊中，而在該劃分塊中選中包含圓心者的概率就是1/4。
上面的方法的核心就是「對應」，這裡是1對3。（雖然我不敢說我的答案是正確的——貝特朗悖論已經讓我不相信概率了）
而「一一對應 」具有非常的重要性！
對於原始人而言，他們先學會比較多少，後學會計數制。
例如一堆桃子和一堆蘋果，要比較哪堆兒多。
他們並不是計數後比較，而是「一一對應 」，之後看剩下桃子（說明桃子多）、剩下蘋果（說明蘋果多）還是都不剩（說明一樣多）。
似乎一切都很順利而美好，但——
不正常的事情出現在1638年，伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）在《關於兩種新科學的對話》中借三個中世紀的學者的對話指出：對於每個自然數，都有且只有一個平方數與之對應。
於是就產生了一個問題：自然數和自然數的平方哪個多？或者更一般地講：部分和全體哪個多？當時它不僅困惑了伽利略，也使許多數學家束手無策。
1874-1894年間，康托（Cantor，1845-1918）圓滿地解決了這個問題，其基本思想是「一一對應」。
定義 假設 和
是兩個集合，如果存在
到
的雙射，則稱集合
與集合
是等勢的，記作
；或稱
和
的基數相等，記作
。
【例】集合 和
是等勢的。
【例】伽利略的問題的回答：自然數集 和集合
是等勢的，雙射函數為
。這也說明有時候部分和全體「一樣大」。
事實上——
對於有限集合，有如下結果：有限集合不能與其任意真子集等勢。
而對於無限集合，可以證明任意無限集必與其某個真子集等勢。這給出了無限集的本質，經常用來作為無限集合的定義。
問題：不同長短的線段，那個上面的點多?
回答：藍色射線（們）建立了紅色線段和綠色線段上的點之間的一一對應（粉色點和翠綠色點），因此不同長短的線段上點「同樣多」（等勢）。
這也表明實軸上所有閉區間都等勢。
形式化地講，對於任意的實數 ，
，閉區間
與
是等勢的。雙射函數為
。
類似地可以證明實軸上所有開區間都等勢。
問題：空心線段和直線，哪個上面的點多？
回答：開區間(0, 1)與實數集 是等勢的，雙射為
。
問題：不一樣大的圓形，哪個上面的點多?
回答：點「同樣多」（等勢）：
問題：正方形和圓形，哪個上面的點多?
回答：點「同樣多」（等勢），由上一個問題，不妨假設圓可以放入正方形中：
還有很多遺留的問題，將在下兩講中討論：
1 開區間 與閉區間
是否等勢？
2 單位長度的線段上的點和單位大小的正方形中的點哪個多？
3 自然數和有理數哪個多？
4 實數和複數哪個多？
5 自然數和實數哪個多？
6 什麼樣的集合包含的元素「最多」
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