同態定理

我們來系統地研究群中的同態與同構，我們前面介紹過自同構，並且高代中也有類似的定義，理解起來應該不難。

下面是一些同態與同構的例子。

我們的重點在於它們的性質：

這兩個性質與自同構類似，也很容易直觀理解，同態是保幺保逆的。

這兩個性質有一定的對偶性，我們從高代的學習中知道，核kerf能表示線性映射的單射程度，當核只有一個單位元時，f變為單射;像Imf能表示線性映射的滿射程度,當像變為值域時，f變為滿射。群里是同樣的道理。

同態會把群映射成群，當它不是滿射的時候，自然就是子群，前一個性質就出來了；相對應的，核是不是子群呢？不僅是，而且是正規子群！

但Imf不一定正規，對偶性似乎並不明顯。不要著急，我們敘述完最後兩個性質後，就來進一步說明。

同構是等價的，但同態會是嗎？想一想，為什麼存在映射不是一個等價關係。

這個性質非常直觀，從我們對商集的認識來看，也很容易理解。商集中的運算是從原群中繼承過來的，運算有相似之處一點也不奇怪，而同態，恰好就是描述運算的相似的。

注意到，kerf為正規子群，那它不是也能導出一個同構嗎？

這個的意義是重大的，任何一個同態都能導出一個同構，然後把對該同態和同態像的研究，轉化到對商群的研究。

因為G到Imf的同態是滿（映上）的。

任何一個同態都可以變成自然同態+同構+嵌入，同構可以看成一樣的，嵌入可以看成多了些無關緊要的元素。於是同態就變成了主要研究自然同態。

含核子群一一映射為像中子群，含核正規子群一一映射為含核正規子群，且有同構關係。

下面一個命題說明我們可以把群上的同態轉化為商群的同態：

下面兩個定理作為同態基本定理的應用，構造好同態就可以證明：

第一個是說，在考慮商群的商群時，可以做形式上的約分，第二個如果把KH看成多項式，把交看成它們的最大公因式，這個形式頓時就熟悉了。但是為了形式的合理性，K必須是正規子群，來保證KH與K交H分別為子群和正規子群。

這個定理再次揭示了內自同構的本質和重要性。

最後一個例題，不難純粹是定義的羅列。

寫在最後的話：

1也可以用線性方程組來形式地理解這些定理。

1. 1為什麼同態能導出同構？考慮Ax=b，x，b為向量（自然就是加法阿貝爾群中的元素），A可以看成一個矩陣，也可以看成一個同態。對任意一個b，Ax=0的解加上某個b對應的解仍然是Ax=b的解。對不同的b，它的解族構成了一個等價類。我們從每個等價類里選取一個元素對應上b，就把它變為了同構（假設它是滿的了）。而這個過程其實類似於分類，只不過，我們把這個類用代表元表示了出來。這就是商群的含義。

1.2為什麼會有子群的對應關係？G1到G2如果有滿同態，K為核，H1與H2分別為它們的子群。KH1仍然是G1的子群，映射過去的像仍然是H2。我們要建立一一映射，就要選取等價類。但這裡直接找類不好說，但代表元是清楚的，就是包含等價類的子群.正規子群也是同理。這個過程逆過來看會更清楚，就是每個元素乘上K再並一起。

2.其實還有第三同構定理等，但那些主要是為了可解群做準備，因此打算另列專題來講。

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