集合論基礎

什麼是代數？

從小學四年級學習一元一次方程開始，你就已經開始接觸這個古老而又 充滿活力的學科了，但是你，能夠清楚的回答這個問題嗎？

代數代數，以之代數，要想說清這個，還要從數來說起。

從前有個數學家，一日他的兒子從幼兒園回來，興奮地說：「爸爸爸爸， 我今天新學了個位數的加法呢。」

「好啊，那我考考你，3 個蘋果加兩個蘋果是幾個蘋果？」

「5 個蘋果。」

「3 個香蕉加 2 個香蕉呢？」

「5 個香蕉。」

「那 3 個西瓜加 2 個西瓜呢？」 「啊？這個我不會唉！」 「可是你前面不是都會嗎？」 「那是因為老師只教了蘋果和香蕉的加法。」

這個故事常常被數學教育界引用，用來說明小孩子理解不了抽象思維。 而在我們看來，西瓜和蘋果香蕉的確有很多不同，但是我們只考慮它們的數 量，在數量這個屬性上，它們是完全可以一樣的。這種屬性獨立於它們的幾 何性質物理性質化學性質，並且具有相當的普遍性。於是我們睿智的先人專 門發明了數來描繪它們。

對的，沒錯，數就是用來描繪物質的數量屬性的。 可能你會問，好，我承認，正整數的確是可以用來描繪物質的數量屬性，

但是負數呢？小數呢？虛數呢？ 這個問題的確比較刁鑽，在我們剛剛引入這些數時，的確不是為了描繪

物質的數量屬性，雖然它們後來的確在其它領域體現了這些作用（比如交流 電的複數描述）。

那我們最初為什麼會引入呢？ 因為事物總是在發展變化，這就要求我們以變化的觀點看待它們。你有

五百個蘋果，但你不會總是有這些。蘋果總要腐爛，被吃掉，你也可能會買 進新的蘋果，這就要求我們去考慮數的變化，於是我們就引入了運算。

為了讓正整數在各種各樣的運算（加減乘除，極限等）下封閉，我們一 直把數系擴充到複數。

數，與運算分不了干係。 我們為了描述物質的數量屬性，引入了數；而為了描述數的運算特性，

我們引入了代數。請你回憶初中的那些代數，是不是一直都是一些 abc,xyz

在那運算運算運算，變形變形變形，湊配湊配湊配，而這些東西本來都是數 字承擔的。

數的引入，是第一次代數革命；數字元號化，是第二次代數革命。而我 們這門課程想要講述的，是第三次代數革命，這次革命直接把運算本身作為 研究對象，而運算的主體，早已不僅僅是數！它的內涵和影響遠比第一次第 二次來得更加深遠。

同時，它的抽象程度也會比以前要高出許多。對任意一個集合，只要它 能定義一個運算，它都是我們研究的對象。

於是乎，為了講清楚它，我們要先從集合說起。 集合的基本定義就不多說了，著重介紹一下集合的笛卡爾積

笛卡爾積的直觀性是容易發掘的，它就好比是把幾條直線拼成一個平面 或者是一個空間一樣，第一個位置是它的 x 坐標，第二個是 y 坐標。

當然啦，作笛卡爾積的這些集合也並不一定要相同，比如我們可以對 R 與 Q 做笛卡爾積，它的幾何含義是平面中的一個點集，這個點集的橫坐標可 以取任意實數，但是它的縱坐標只能取有理數。

有了集合，我們還要介紹映射，可能你剛開始會不習慣映射的語言，但 不久之後你就會發現這種語言的優越性。

這些與我們在高中時學到的函數定義基本一致。

下面是映射的一些例子：

投影的定義也是十分直觀的，我們很容易聯想到一個平面直角坐標系裡 的圖形對坐標軸的投影。

再給出一些定義：

因為映射的主體是元素與集合嘛，所以我們給一些特定的元素和集合起 好名字。另外，根據涉及的兩個集合間的映射關係，我們給這些映射也分好 了類。

這些東西高中時都已經學過，想必不會有什麼難度，但要注意這裡的逆 映射與高中時學過的反函數的異同。以及那個原像的記法，也是用 f 逆，但 是這裡的 f 逆接的是個集合。當它接元素時，可以把它理解成反函數。

下面再看一個定義：

映射天然具有複合，也就是說，映射這個集合，天然地可以定義乘法，這一

點是極為重要的，我們也會在後面陸續看到它帶來了什麼。

這裡給出了單射滿射的一組充要條件，我們知道，f 為雙射的時候是有 逆的，這個性質說明它在單射滿射的時候也有一定程度的逆。

證明的話就考慮雙射時為什麼會有逆，把它遷移到這裡來，其中要注意 單射和滿射的定義是如何體現的。

f 為單射，說明 B 中有多餘的元素，我們在構造 g 的時候，要想方設法 把多餘的元素的像也構造出來；f 為滿射的時候，A 中有多餘的元素,我們在 構造 g 的時候，要想辦法讓那些多餘的元素不成為像。

由於內容設計的原因，我們對等價關係和商集接下來才會介紹，讀者前 面不了解的分劃可以參見下面的定義。

我們先從等價關係開始介紹。

從這兩個定義可以看出： 1.我們常說各種關係，父子關係，師生關係，兄弟關係，僱傭關係，其實可 以很容易看出，關係其實就是兩個主體之間的作用。而在數學上如何描述這 種作用呢？——笛卡爾積!

2.等價關係其實就是在給集合分類，每一類的元素都會滿足那三個條件。這 三個條件雖然看起來很顯然，但是卻可以唯一地確定出一群等價類。 再看一些例子，它們說明等價關係十分普遍：

接著來討論等價類對集合的影響：

接下來我們給出商集的定義：

為什麼我們把它叫做商集？ 為了解釋這個問題，請允許我帶你穿越時空，回到小學的課堂上。 「老師老師，為什麼要定義除法呢？」 「因為除法是乘法的逆運算。」 「那為什麼一定要給乘法定義一個逆運算呢？它有什麼意義呢？」 老師沉思良久，緩緩說到：「現在你有 8 個蘋果，你要把它平均分給 4

個人，這個時候你就要用到除法。」

「哇！原來是這樣啊。那是不是可以說，除法就是分類的過程？」 「emmm,大概吧，差不多就是這樣的......」 「不是大概，它就是這樣」你欣喜若狂，喃喃自語，「平均分就是小學

的作商，不平均分就是現在的商集！我們給定一個分蘋果的標準，分給同一 個人的蘋果顯然構成一個等價類！」

也的確是這樣，商，商集，還有後面學到的商群，商環等都是一個分蘋 果的過程。

現在我們還剩最後一個問題，如何導出運算的定義？ 先想一想，你對運算了解多少？加減乘除是運算，矩陣的轉置也是運算，

但前者都是有兩個元素，才能做運算，後者只要一個元素就可以了。運算的 話，元素數目並不是太本質的，給你一些元素，就可以得到一個新的元素。

等下！一道靈光閃過，給一得一，這個，怎麼那麼像映射的定義？ 原來，運算，就是一種映射！

我們這裡主要考慮二元運算。

下面是運算的一些約定和性質：

很自然的，我們也可以仿造它給出 n 元映射的定義，這裡就不再贅述。

寫在後面的話：

1.很多人都覺得數學沒有用，即便是承認它的知識作用，也不會承認它的素 養作用。但試想，假如沒有了數學的熏陶，你是否會像那個幼兒園的孩子那 樣，不能從蘋果與香蕉中抽象出數字來？這只是數學素養的一小部分，不論 你同意與否，數學都在默默影響著你的思維。 2.我們把運算用映射表示出來的過程堪稱玄妙。但如果這樣解讀它們，映射 就是兩組事物之間的關係，運算就是事物自身與自身的關係，聯繫上它們也 不足為奇。但這樣的解讀很難不讓人想到笛卡爾積——它不正可以表示關係 嗎？其實，笛卡爾積是可以用映射的方法寫出來的：

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