概率論如何實現抽象

# 概率論如何實現抽象

都知道數學的厲害之處在於對事物的抽象，抽象意味著可以跳出表面開啟一種上帝視角。本文用不嚴格的方式八卦一下概率是如何實現抽象的。

我從幾個概念來說說抽象這件事。

**隨機事件**是概率論研究的最基本的對象，什麼是隨機事件呢？事件是對世界的一種描述，可以用語言來描述一個事件，比如："明天太陽從東北出來「、"「明天會下雨」、「扔一枚硬幣正面朝上」、「今天女朋友會不會生氣」，擲一枚色子出現的數小於3...... ，事情的確定性或規律性對人類而言是極具誘惑力的，比如你知道了你女朋友今天會生氣或者知道了她生氣的規律(當然這是不可能事件)你們的小日子肯定會很美了。所以對隨機事件的研究就很有用處。

**事件空間**(或樣本空間)所有事件的集合，其本質是一個集合，比如擲一枚色子出現的數字的事件空間有六個元素：{出現數字1，出現數字2，出現數字3，出現數字4，出現數字5，出現數字6}

**集合**的定義是康托爾1895年提出的，集合的直觀感覺是很簡單的，一堆元素無序聚集。對應到集合的概念，隨機事件就是事件空間的子集。到此現實世界可以用集合論來抽象了，其實現代概率論的基礎是測度論，而測度論是研究集合的測度和積分的理論，這裡不再繼續往下了。

更進一步為了描述(量化)隨機事件發生的可能性，則有了概率，概率本質上是定義在事件空間上的集合函數。什麼意思呢？意思是把隨機事件集合與實數集合[0,1]之間建立了一個映射，每個隨機事件發生的可能性都能用0和1之間的某個數來度量。當然這個函數要滿足三個性質，非負性，規範性，有限可加性。概率的本質是測度，測度的本質是函數。

到此可以研究隨機事件的可能性了，但是這還不夠抽象，因為此時概率還是建立在具體的問題上。扔一枚五毛硬幣出現正面和扔一枚一塊硬幣出現證明這是兩個不同事件，如何跳出具體問題呢?

**隨機變數**就能幫助我們不再研究每一個具體問題而是一次研究一堆具有共性的問題。把事件集合映射到實數上，比如定義隨機變數$$alpha$$有兩種取值{0,1} .扔硬幣這件事就可以用隨機變數$$alpha$$來表示：正面朝上為1，反面朝上為0.這樣我們就能通過研究隨機變數的概率，這也就跳出了具體事情，意思是我們不用在區分扔的是五毛銀幣還是一塊硬幣。所以就有了二項分布，泊松分布，高斯分布......這些分布都是對隨機變數而言的，真實世界很多事情服從高斯分布，或二項分布，我們不用再一個個研究每個事件的概率，只要知道事件服從高斯分布就能很快知道事件發生概率的規律了。

有了這些抽象，通過分布函數，密度函數特徵函數....就能建立概率和實分析之間的關係，利用數學分析這一強大的工具，我們可以研究連續型隨機變數的性質，多維隨機變數的性質，隨機變數函數的性質，利用極限積分等貌似有了大數定理(這是我的觀點不保證正確).....。