經典力學的數學方法（三）運動穩定性

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$Newton$ 力學是通過研究 $Newton$ 方程來研究力學。我們在上一篇文章中討論了保守力場對應的力學系和封閉系中的守恆定律，並且知道各種各樣的守恆量實際上就是方程的首次積分。本篇文章依然從研究運動的方程入手，探討幾個力學和常微分方程理論都會涉及到的話題，尤其是運動穩定性，來結束關於 $Newton$ 力學的討論。

A.兩個例子

我們從最簡單的情況開始，即方程是形如 $dot{x}=Ax$ 的形式，其中 $A$ 是一個二維矩陣。

Exm 1 勁度係數為k的彈簧橫在光滑面上，右端掛一質量為 $1$ 的物體，這一力學系對應的方程是 $ddot{x}=-kx$ (胡可定律),化成一階自治方程即為:

$(egin{matrix}dot{x}\ dot{y}end{matrix})=(egin{matrix} 0 &1\-k&0end{matrix})(egin{matrix}x\yend{matrix})$ ,這是一個力學系統。

Exm 2 （平面單擺問題）平面上一根長為 $L$ 繩子的一端固定在定點 $O$ 上，另一端系在一個質量為 $m$ 的小球上，在最低位置附近給小球一個速度，若繩長不變且考慮重力，求小球的運動軌跡（見下圖）。

單擺問題

我們首先假定小球的位置離最低位置較近(或者 $heta<frac{pi}{6}$ ），這樣小球總是在一段弧上運動。由於小球運動的相空間不是 $R^2oplus R^2$ 中的開集，我們不能直接套用先前的結論，不過對小球依然可以使用角動量守恆定律。事實上，我們若設 $F$ 是繩對小球的拉力(它與 $x,dot{x}$ 有關， $x$ 只在這段弧上有定義), $G=mg$ 是小球所受的重力。將點 $O$ 和小球看作一個二點系統，則該系統的方程為:

$egin{matrix} ddot{x}_1=-F+K=0 , mddot{x}_2=F+G end{matrix}$ ;

其中由於 $O$ 被定死，因此它除了拉力，所受的合力就記為 $K$ ,同過和上篇文章同樣的方式可以證明系統角動量的變化率是合外力矩。因此設 $x(t)$ 是小球在某初始條件下的運動方程， $heta(t)$ 是時刻 $t$ 處繩與豎直方向的交角(圖中已作出),則該運動下有方程: $ml^2ddot heta(t)=-mglsin heta(t)$ ,因此有單擺方程: $ddot heta+frac{g}{l}sin heta=0$ .由於 $heta$ 較小， $sin hetaapprox heta$ ,從而得到方程:

$ddot heta+frac{g}{l} heta=0$ .

我們之所以在這裡研究單擺問題，一是由於近似的單擺方程是線性的，其次，由於 $heta$ 可以作為小弧長的坐標，因此上述方程實際上定義了直線 $heta$ 上的力學系，並且由約定，位置不能離最低位置過遠，速度不能太快，因此狀態空間是 $Roplus R$ 中的一個開集。

B.指數映射

我們開始著手對方程 $dot{x}=Ax$ 的研究。很重要的一點是，該方程的解總是在無限時間存在的，因此不需要額外的假定，事實上，該方程以 $x_0in R^2$ 為初始條件的解為 $e^{tA}x_0$ （從而 $g^t=e^{tA}$ ),其中， $e^{tA}=1+tA+...+frac{(tA)^n}{n!}+....$ ,它對任意的復二階矩陣 $A$ 都是收斂的:二維矩陣空間按照加法，數乘以及標準範數成為 $Banach$ 空間，且 $left| sum_{}^{}{frac{B^n}{n!}} ight| leq sum_{}^{}{frac {left| B ight|^n}{n!}}<infty$ .

一個關於 $e^{B}$ 的重要性質是：它是非奇異的，事實上，它的行列式和 $B$ 的跡之間有如下關係:

$detB=e^{traceB}$ ;我們可以對可對角化的矩陣來證明:

$e^B=e^{P^{-1}( egin {matrix} alpha & 0 \ 0 & eta end {matrix})P}=P^{-1}(egin {matrix} e^alpha & 0 \ 0 & e^eta end {matrix})P$ ,兩邊求行列式即得。

C.線性方程(係數為矩陣)的相流

我們簡單研究線性方程的相流: 考慮兩種情況:1. $A$ 有兩個互異實根。2. $A$ 有一對共軛復根。

對於第一種情況，在一個線性變換 $P$ 下，方程具有特別簡單的形式:

$egin{matrix} dot{x}_1=alpha x_1 \ dot{x}_2= eta x_2 end {matrix}$ ;此時二階方程分解為兩個一階方程，它所對應的單參數族是:

$g^t=(egin {matrix} e^{alpha t}& 0 \ 0 &e^{eta t} end {matrix})$ ; $g^t$ 保持原點不動，我們稱 $g^t$ 的不動點是平衡點或平衡位置；事實上:

Th1 $x$ 滿足 $X(x)=0$ ,則 $g^tx=x$ ,換言之，以 $x$ 為初始點的解只有 $x(t)=x$ .

由唯一性，上述定理是顯然的。

我們看 $g^t$ 在非零點的點上作用，這時，相曲線的性態和 $alpha,eta$ 的正負性相關。

如果 $alpha,eta$ 有一個大於0,則當 $t ightarrowinfty$ 時，相曲線也將去往無限遠處。

彈簧振動方程和單擺方程顯然不是這種類型的方程，因為此時彈簧的自然伸長的位置（即無彈力的位置)和速度為0對應的狀態，以及單擺的最低位置和速度為0對應的狀態，是線性方程的平衡位置，而如果給一個微小的擾動，則質點也將在平衡位置附近作微小的運動，不可能隨著時間的變化有無限大的趨勢，即彈簧和單擺的平衡位置具有穩定性。

Def1(平衡位置的穩定性) $x$ 是 $dot{x}=X(x)$ 的平衡點，若 $y$ 是狀態 $x$ 的一個微擾，則 $x$ 和 $y$ 的相曲線十分接近。嚴謹的說， $forallvarepsilon>0,existsdelta>0$ ,若 $left| y-x ight|<delta$ ,則 $left| g^ty-g^tx ight|<varepsilon$ .

如果 $alpha,eta$ 均小於0,則相曲線將趨近於0，即對 $forall x,g^tx ightarrow0$ ,這即是說從平面上任何一點開始運動，都將最終靠近原點，因此我們稱原點為全局吸引子。

那麼彈簧振動和單擺是否適用於這種情形呢？顯然不是的，事實上，這種情形下的能量是不守恆的，能量不是一個首次積分，而彈簧振動和單擺方程均是保守力場下的運動，更進一步，我們發現這兩個運動都有周期現象，即在平衡位置附近作周期的運動，因此不存在一個最終的極限，不過由於它每一個周期內總會經過平衡位置，因此 $exists t_k,g^{t_k}x=0$ .

現在我們考慮第二種情況，即方程具有一對共軛復根。此時 $A$ 一定相似於矩陣 $(egin{matrix} a&-b\b&a end{matrix})$ ,因為它們有相同的不變因子，而後者對應的方程等價於一個一維的復方程:

$dot{z}=kz,k=a+ib;$ 這種方程的解是非常簡單的: $z=e^{kt}z_0=e^{(a+ib)t}(x_0+iy_0)$ ,從而 $g^t$ 為:

$(egin{matrix} e^{at}cosbt&-e^{at}sinbt\e^{at}sinbt&e^{at}cosbt end{matrix})$ 。此時我們應該考慮 $a,b$ 的正負性，顯然，如果 $a$ 不為0，那麼相曲線作一振幅趨向無窮大或者0的類周期運動，此時依然能量依然是不守恆的。代入 $a=0$ 我們發現， $g^t$ 正是旋轉，相曲線是圓。

D.線性方程

形如 $dot{x}=A(t)x$ 的方程稱為線性的(假定 $tin R$ )。它對每個初始條件存在唯一解，且解在 $R$ 上存在。(證明可以參看初等常微分方程的課本，利用 $Picard$ 迭代可以直接證明),因為此時它不是自治的，故 $g^t$ 雖然可以定義但是不再構成一個群。

如果存在一個最小的正數 $T$ ，使得 $A(t+T)=A(t)$ ,就稱 $dot{x}=A(t)x$ 是帶周期係數的線性方程，研究這樣的方程，一種有效的手段是研究 $g^T$ 。關於 $g^T$ ,我們有三個簡單的觀察:

1. $g^t$ 是線性的。（由解的疊加原理得到）

2. $g^Tx=x$ ,則 $g^tx$ 是周期為 $T$ 的解。

3.平衡位置的穩定性取決於矩陣 $g^T$ 的穩定性，即對平衡位置0附近的點 $x$ ,是否依舊有 $g^{nT}x$ 和平衡位置十分接近。

E.強穩定性

引入一般的線性方程看似突兀，為此我必須要說明引入這一概念的原因。

事實上，我們想要考慮 $dot{x}=Ax$ ( 這一方程對應一保守的力學系)在某一周期擾動下的穩定性，一個經典的例子是盪鞦韆:鞦韆上若沒有人，則就是普通的單擺，而如果鞦韆上站著一個盪鞦韆經驗豐富的人，每次盪到最低點時，他會迅速站起，通過最高處時會迅速蹲下，只有按照這樣的方式才能越盪越高，如果不像這麼做，從平衡位置附近是很難把鞦韆盪起來的。

為了把這一物理模型數學化，我們作這樣的假定，即鞦韆上的人作只跟時間有關的站立和蹲起運動，因此系統的重心到固定點 $O$ 的距離將是時間的一個周期函數 $l(t)$ , $l(t)$ 的振幅在 $l_0$ (原擺長)附近作微小的周期變化，利用角動量定理，我們得到方程:

$frac{d(ml^2dot{ heta})}{dt}=-mglsin heta$ ,化簡得到

$lddot heta+2dot{l}dot{ heta}+gsin heta=0$ ;我們假定 $heta$ 不大，可以有 $sin hetaapprox heta$ ,其次可以忽略第二項。忽略第二項從數學上是難以理解的，除了 $l$ 變化不太明顯這一事實之外沒有其它依據，但是為了建立一個更加簡潔的近似模型，我們可以忽略這一項(尤其將會發現，這一看似不嚴謹的方程卻能夠很好的解釋物理現象),我們令 $l(t)=l_0frac {1}{s(t)}$ ,其中 $s(t)$ 是周期為 $T$ 的函數，這體現了重心的周期變化。總之，方程最後化簡為:

$ddot heta=-frac{g}{l_0}s(t) heta$ .

不妨令 $s(t)=frac{1}{1+varepsilon sinomega t},omega_0=sqrt{frac{g}{l}}$ (即 $l(t)$ 作頻率為 $omega$ 的周期的微小變化， $omega_0$ 為單擺的原頻率),則: $ddot{ heta}=-omega_0^2(1+varepsilon sin omega t ) heta$ .

上述方程可以化為帶周期係數的線性方程組，視為原來單擺運動的微小的周期擾動。我們要解釋的現象是，為什麼盪鞦韆時即使在最低點附近開始盪，按照最高出蹲起最低處站起的方式總能把鞦韆盪的越來越高，事實上，這一客觀存在的現象表明輕微擾動後的方程關於最低點是不穩定的（哪怕這個擾動再如何小)，即矩陣 $g^T$ 不是穩定的。

總之，我們把研究平衡位置穩定性的問題推廣到了輕微擾動後的方程的穩定性的問題，這種關於方程結構輕微改變的穩定性問題稱為強穩定性問題。

但是這個輕微擾動不能是任意的擾動，我們希望讓原來的線性方程在相同周期的 $A(t)$ 的跡為0的這類方程中擾動（上面的擾動方程正是如此).

關於這類方程相流的一個關鍵性定理是:

Th2（Liouville) $detg^t=1$

proof：這個證明可以參見初等的常微分方程課本。事實上，關於 $A(t)$ 的跡和 $g^t$ 的行列式有一關係: $detg^t=e^{int_{0}^{t}traceA(t)dt}$ .

現在，我們可以嚴格的把強穩定性問題這樣表述:

$dot{x}=Ax$ 的 $T$ 時刻的相流 $g^T$ 如果是穩定的，那麼問在矩陣類 $detB=1$ 中與 $g^T$ 十分接近的 $B$ 是否是穩定的（如果能說明這一點，那麼由於擾動後的方程的 $T$ 時刻的相流 $h^T$ 和 $g^T$ 十分接近，從而也是穩定的)。

對於單擺我們已經證明在相似變換下是一旋轉，因此當然對任意時刻的相流都是穩定的，但是它在行列式為1的矩陣中的細微變化就不一定是穩定的了。

我們先給出判斷 $detB=1$ 的矩陣 $B$ 是否是穩定的一個判據:

Th3對於上述的 $B$ ,若 $left| traceB ight|<2$ 則穩定，若 $left| traceB ight|>2$ 則不穩定。

proof: $B$ 的特徵多項式為 $lambda^2-(traceB)lambda+1=0$ ,若 $left| traceB ight|>2$ ，則有一對共軛實根，且一個大於1，一個小於1，此時 $B^n$ 作用在大於1的那個特徵向量上將趨於無窮。

若 $left| traceB ight|<2$ ，則有一對共軛復根，從而都在單位圓周上，此時可以選擇適當的坐標系將 $B$ 化為旋轉(見C節)。

由此立即得到:

Th5(強穩定性的判據)若 $B$ 行列式為1，若 $left| traceB ight|<2$ ,則 $B$ 強穩定。

proof：由 $trace$ 的連續性，每一接近 $B$ 的行列式為1的矩陣 $C$ 跡也小於2，從而穩定。

F.參數共振

下面我們來計算 $dot{ heta}=-omega_0^2 heta$ 在 $T=frac{2pi}{omega}$ 時的相流 $g^T$ .

很容易計算 $g^T=(egin{matrix} cos2piomega_0T&frac{1}{omega_0}sin2piomega_0T \-omega_0sin2piomega_0T&cos2piomega_0Tend {matrix})$ ,注意到 $traceg^T=2cos2pi omega_0T$ ,因此我們發現，如果 $omega_0T=frac{T}{T_0} e kin N$ 時， $g^T$ 是穩定的，因此對於每一周期為 $T$ 的擾動，由於 $T$ 時刻的相流和 $g^T$ 十分接近，因而也是穩定的，對於這樣的擾動，不會使鞦韆越盪越高，反而很難盪起來，而如果 $T$ 和 $T_0$ 的比是一正整數的話，擾動可能使 $T$ 時刻相流不穩定，因此能在平衡位置附近輕鬆的盪起來，而每經過一次平衡位置，可能會盪得越高，而這種擾動周期和原周期比導致不穩定的現象其實盪鞦韆的人早就發現並應用於實踐了，這實際上就是參數共振。

在以上部分，我們考察了兩種運動穩定性問題，一是平衡位置的穩定性，二是方程結構細微擾動的強穩定性，並且以鞦韆為例說明了參數共振現象，從而結束了對 $Newton$ 力學的討論，從下一篇文章開始，我將開始探討 $Lagrange$ 力學。